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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第2节 简单几何体的表面积和体积(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第2节 简单几何体的表面积和体积(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第2节简单几何体的表面积和体积新人教B版一、选择题1.(2022·广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M,N,顶点A及过N,顶点D,C1的两个截面截去两角后所得的几何体,该几何体的正视图是( )[答案] B[解析] 在原正方体中,此几何体的顶点A、B、B1、M、N在正视图中的投影依次为D、C、C1、Q、D1(其中Q为C1D1的中点),能看见的轮廓线用实线,看不见的轮廓线为虚线.故选B.2.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是( )A.南 B.北 C.西 D.下[答案] A[解析] 将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为上,最右面为东,则前面为△,可知“△”的实际方位为南.3.(文)(2022·惠安中学高考适应性训练)一个四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是腰长为1的等腰直角三角形,侧(左)视图是直角三角形,其中一条直角边长为2,则这个几何体的体积是( )-13-\nA.B.1 C.D.2[答案] A[解析] 由三视图知,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,梯形两底边长分别为1和2,高为,面积S=×(1+2)×=,锥体高,∴体积V=××=,故选A.(理)(2022·重庆理)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.54B.60 C.66D.72[答案] B[解析] 如图所示该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的,直三棱柱底面是直角三角形,两直角边长为3和4,柱高为5,∵EF∥AC,AC⊥平面ABDF,∴EF⊥平面ABDF,∴EF⊥DF,在直角梯形ABDF中,易得DF=5,故其表面积为S=SRt△ABC+S矩形ACEF+S梯形ABDF+S梯形BCED+SRt△DEF=+3×5+++=60.-13-\n4.(文)(2022·贵州六校联盟)某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )A.B. C.8-D.8-[答案] A[解析] 由三视图知,该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥,其中正方体的棱长为2,正四棱锥的底面为正方体的上底面,高为1.∴几何体的体积为V=23-×2×2×1=8-=.(理)(2022·安徽六校教研会联考)四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面截得的线段长为2,则该球的表面积为( )A.9πB.3π C.2πD.12π[答案] D[解析] 该几何体的直观图如图所示,-13-\n该几何体可看作由正方体截得的,则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2,可知正方形ABCD的对角线AC的长为2,可得a=2,在△PAC中,PC==2,∴球的半径R=,∴S表=4πR2=4π×()2=12π.5.(文)(2022·河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上A、B、C三点的平面的距离等于球半径的一半,若AB=BC=CA=3,则球的体积为( )A.8πB.C.12πD.[答案] D[解析] 设球心为O,过O作OM⊥平面ABC,垂足是M,∵△ABC是边长为3的正三角形,∴AM=,可得球半径是2,体积是π.(理)如图,已知在多面体ABC-DEFG中,AB、AC、AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为( )A.2 B.4 C.6 D.8[答案] B[解析] 补成长方体ABMC-DEFN并连接CF,易知三棱锥F-BCM与三棱锥C-FGN的体积相等,故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.[点评] 1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分,设平面BCE与DG的交点为H,则ABC-DEH为一个直三棱柱,由条件易证EH綊FG綊BC,平面BEF∥平面CHG,且△BEF△CHG,∴几何体BEF-CHG是一个斜三棱柱,这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形,高都是2,∴体积为4.-13-\n2.如图(2),几何体ABC-DEFG也可看作棱长为2的正方体中,取棱AN、EK的中点C、F,作平面BCGF将正方体切割成两部分,易证这两部分形状相同,体积相等,∴VABC-DEFG=×23=4.6.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )[答案] B[解析] 球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心,故在截面图中,此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两部分,截面过三棱锥的高和一条侧棱,故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上,这条高应是顶点与底面中心的连线段,故选B.二、填空题7.圆台的上、下底半径分别为2和4,母线长为4,则截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为________.[答案] π[解析] 如图,设PD=x,则=,∴x=4,∴θ=×2π=π.8.一个底面半径为1,高为6的圆柱被一个平面截下一部分,如图(1)所示,截下部分的母线最大长度为2,最小长度为1,则截下部分的体积是________.-13-\n[答案] [解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱,这个圆柱的高是3,体积是所求几何体体积的2倍,故所求的几何体的体积是×π×12×3=.故填.9.(文)(2022·天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.[答案] [解析] 由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2;下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4,故该几何体的体积V=·π·22·2+π·12·4=+4π=.(理)(2022·山东泰安市期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________.[答案] πcm3[解析] 由图可知,该几何体是一个组合体,上部为半径为1的半球,下部为圆柱,圆柱的底半径为1、高为1,∴体积V=×+π×()2×1=(cm3).-13-\n三、解答题10.(文)(2022·江西赣州博雅文化学校月考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.[解析] (1)∵BC=CD=2,∴△BCD为等腰三角形,∵∠ACB=∠ACD=,∴BD⊥AC.再由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BD.而PA∩AC=A,故BD⊥平面PAC.(2)∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC,∴三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的.△BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=.∴三棱锥P-BDF的体积V=VP-BCD-VF-BCD=·S△BCD·PA-·S△BCD·(PA)=×·S△BCD·PA=××2=.(理)(2022·济南外国语学校质检)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.(1)求证:CE⊥平面PAD;(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.[解析] (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD,所以PA⊥CE,在平面ABCD内,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD,(2)由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S-13-\n△ECD=AB·AE+CE·DE=1×2+×1×1=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积V=S四边形ABCD·PA=××1=.一、选择题11.(文)(2022·湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.B.π C.D.2π[答案] A[解析] 由三视图可知,该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的,且圆柱的底面圆半径为1,母线长为2,则圆柱的体积V柱=π×12×2=2π,挖去的两个半球的半径均为1,因此挖去部分的体积为V球=2××π×13=π.故所求几何体的体积为V=V柱-V球=2π-=.(理)(2022·河南郑州质检)如图所示,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为( )A.15+3B.9C.30+6D.18[答案] C[解析] 由三视图知几何体是一个斜四棱柱,底面是边长为3的正方形,棱柱高为-13-\n,侧棱长为2,故S=3×3×2+3×2×2+3××2=30+6.12.(文)(2022·东北三校一联)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 该几何体是底面为扇形的一个锥体,由主视图可知AD=1,而AO=2,∴∠AOD=,∴底面扇形的圆心角α=π,∴=,V=Sh=×(·π×22)×4=π.(理)(2022·江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( ) A.πB.6π C.πD.π[答案] C[解析] 由三视图可知,该几何体上半部分是底面半径和高都为2的半圆锥,下半部分为底面半径为2,高为1的半圆柱组成的组合体,因此它的体积为V=(π×22×1)+(π×22×2)×=π.13.(2022·山东青岛二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD=,AC=,BC⊥AD,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.πB.6π C.5πD.8π-13-\n[答案] B[解析] ∵由勾股定理易知DA⊥AB,AB⊥BC,∴BC⊥平面DAB.∴CD==.∴AC2+AD2=CD2,∴DA⊥AC.取CD的中点O,由直角三角形的性质知O到点A,B,C,D的距离均为,其即为三棱锥的外接球球心.故三棱锥的外接球的表面积为4π()2=6π.二、填空题14.(2022·陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图中半圆直径为2,则该几何体的体积为________.[答案] 24-[解析] 由三视图可知,该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体,可知,长方体的长为4,宽为3,高为2,圆柱体的高为3,底面的半径为1,则可知该几何体的体积为4×2×3-×π×12×3=24-π.15.(文)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的表面积等于________.[答案] 4π[解析] 可以将其补全为一个长方体,则长、宽、高分别为、1、1,所以,长方体体对角线长为=2,故R=1,因此球的表面积为4πR2=4π.(理)圆锥的高为4,侧面积为15π,其内切球的表面积为________.[答案] 9π[解析] 设圆锥底面半径为r(r>0),则母线长l=,由πrl=15π得r·=15,解之得r=3,∴l=5.设内切球半径为R,作出圆锥的轴截面如图,则BD=BO1=3,PD=5-3=2,PO=4-R,∵OD⊥PB,∴R2+4=(4-R)2,∴R=,-13-\n∴球的表面积S=4πR2=9π.三、解答题16.(文)(2022·南开区质检)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D为AB的中点,且CD⊥DA1.(1)求证:平面A1B1B⊥平面ABC;(2)求多面体DBC-A1B1C1的体积.[解析] ∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB,又CD⊥DA1,∴CD⊥面AA1B1B,又因为CD⊂平面ABC,故平面A1B1B⊥平面ABC.(2)V多面体DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ADC=S△ABC·|AA1|-S△ADC·|AA1|=S△ABC·|AA1|-×S△ABC·|AA1|=S△ABC·|AA1|=.(理)(2022·焦作市期中)如图,四边形BCDE为矩形,平面ABC⊥平面BCDE,AC⊥BC,AC=CD=BC=2,点F是线段AD的中点.(1)求证:AB∥平面CEF;(2)求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比.[解析] (1)连接BD交CE于点O,连接FO.∵四边形BCDE为矩形,∴O为BD的中点,又F是线段AD的中点,∴FO∥AB,∵FO⊂平面CEF,AB⊄平面CEF.∴AB∥平面CEF.-13-\n(2)∵平面ABC⊥平面BCDE,AC⊥BC,平面ABC∩平面BCDE=BC,∴AC⊥平面BCDE.∴VA-BCDE=·S矩形BCDE·AC=×BC×CD×AC=×4×2×2=.矩形BCDE中,BC⊥CD,又AC⊥BC且AC∩CD=C,∴BC⊥平面ACD,又矩形BCDE中,ED∥BC,∴ED⊥平面ACD.Rt△ACD中,F是线段AD的中点,∴S△CDF=S△ACD=··AC·CD=1,∴VE-CDF=·S△CDF·ED=×1×4=,∴平面CEF将几何体ABCDE分成的上下两部分的体积之比为==.17.(文)已知P在矩形ABCD的边DC上,AB=2,BC=1,F在AB上且DF⊥AP,垂足为E,将△ADP沿AP折起,使点D位于D′位置,连接D′B、D′C得四棱锥D′-ABCP.(1)求证:D′F⊥AP;(2)若PD=1,且平面D′AP⊥平面ABCP,求四棱锥D′-ABCP的体积.[解析] (1)∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E,∴AP⊥平面D′EF,∴AP⊥D′F.(2)∵PD=1,∴四边形ADPF是边长为1的正方形,∴D′E=DE=EF=,∵平面D′AP⊥平面ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面ABCP,∵S梯形ABCP=×(1+2)×1=,∴VD′-ABCP=×D′E×S梯形ABCP=.(理)如图在△ABC中,∠B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PD∥BC交AC于点D,现将△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD.-13-\n(1)当棱锥A′-PBCD的体积最大时,求PA的长;(2)若点P为AB的中点,E为A′C的中点,求证:A′B⊥DE.[解析] (1)令PA=x(0<x<2),则A′P=PD=x,BP=2-x,因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD,故A′P⊥平面PBCD.所以VA′-PBCD=Sh=(2-x)·(2+x)x=(4x-x3).令f(x)=(4x-x3),由f′(x)=(4-3x2)=0,得x=.当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以,当x=时,f(x)取得最大值,即当VA′-PBCD最大时,PA=.(2)设F为A′B的中点,连接PF,FE,则有EF綊BC,PD綊BC,∴EF綊PD,∴四边形EFPD为平行四边形,∴DE∥PF.又A′P=PB,所以PF⊥A′B,故DE⊥A′B.-13-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:32
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