【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第7章 第3节 简单的线性规划问题(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第7章第3节简单的线性规划问题新人教B版一、选择题1.(文)不等式组所围成的平面区域的面积为( )A.3B.6 C.6D.3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC,易求B(4,4),A(1,1),C(2,0)∴S△ABC=S△OBC-S△AOC=×2×4-×2×1=3.(理)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A.-5B.1 C.2D.3[答案] D[解析] 由题意知a>-1,此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,记为△ABC,则A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),∵S△ABC=2,∴×(1+a)×1=2,解得a=3.2.(文)(2022·长春三校调研)在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内恰有两个点在圆x2+(y-b)2=r2(r>0)上,则( )A.b=0,r=B.b=1,r=1C.b=-1,r=D.b=-1,r=[答案] D[解析] 不等式组所表示的区域如图中阴影部分所示,容易求得当b=-1,r=时满足题意.-13-\n(理)(2022·辽宁五校联考)已知集合A={(x,y)|},B={(x,y)|x2+(y-1)2≤m},若A⊆B,则m的取值范围是( )A.m≥1B.m≥C.m≥2D.m≥[答案] C[解析] 作出可行域,如图中阴影部分所示,三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是1,1,,由A⊆B得三角形内所有点都在圆的内部,故≥,解得m≥2.3.(文)(2022·唐山市二模)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则2x+y的最大值和最小值分别为( )A.1,-1B.2,-2 C.1,-2D.2,-1[答案] B[解析] 不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域如图所示,作直线l0:2x+y=0,平移直线l0,当l0经过点(1,0)时,2x+y取最大值2,当l0经过点(-1,0)时,2x+y取最小值-2.(理)(2022·邯郸质检)已知实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为( )A.4B.6 C.8D.10[答案] C[解析] 依题意,画出不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0(图略),平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(3,2)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=2x+y取得最大值,最大值是2×3+2=8,选C.4.(文)(2022·天津耀华中学月考)设x,y满足则z=x+y( )A.有最小值2,最大值3-13-\nB.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值[答案] B[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,作直线l0:x+y=0,平移l0当平移到经过点B时z取最小值,z无最大值,故选B.(理)(2022·哈三中一模)若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-y的最小值为( )A.-4B.0 C.D.4[答案] B[解析] 作出可行域如图,作直线l0:3x-y=0,平移l0当经过可行域内的点A(1,)时,-z最大.从而z取最小值.∴zmin=3×1-=.5.(文)(2022·石家庄市二检)已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-2,则实数m的值为( )A.0B.2 C.4D.8[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示,由得作直线l0:x-y=0,平移直线l0,当l0经过平面区域内的点(,)时,z=x-y取最小值-2,∴-=-2,∴m=8.-13-\n(理)已知变量x、y满足约束条件若目标函数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,则实数a的取值范围为( )A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)[答案] A[解析] 点M(5,3)为直线y=3与x-y=2的交点,画出可行域,让直线y=ax+z绕点M(5,3)旋转,欲使仅在M点z取最小值,应有a>1.6.(文)(2022·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )A.31200元B.36000元 C.36800元D.38400元[答案] C[解析] 设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z元,则,画出可行域(图中阴影区域中的整数点),则目标函数z=1600x+2400y在点N(5,12)处取得最小值36800,故选C.(理)(2022·山东泰安市上学期期末)某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是( )-13-\nA.6B.8 C.10D.12[答案] C[解析] 设z=x+y,则y=-x+z,作出可行域如图,当y=-x+z经过点C(6,7)时,z取最大值,但C点不在可行域内,满足条件的点为(5,5),∴z=10.即该校招聘的教师人数最多为10名.二、填空题7.(2022·淮南第二次联考)已知x,y满足则目标函数z=2x-y的最大值为________.[答案] 3[解析] 画出可行域如图,易知y=2x-z过点C(2,1)时,zmax=3.8.(2022·北京西城一模)若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是________.[答案] (3,5)[解析] 平面区域如图中的阴影部分,直线2x+y=6交x轴于点A(3,0),交直线x=1于点B(1,4),当直线x+y=a与直线2x+y=6在线段AB(不包括线段端点)时,此时不等式组所表示的区域是一个四边形.将点A的坐标代入直线x+y=a的方程得a=3,将点B的坐标代入直线x+y=a的方程得a=5,故实数a的取值范围是(3,5).9.(2022·吉林市二检)已知实数x,y满足,则目标函数z=2x-y的最大值为________.[答案] 5-13-\n[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示,作直线l0:2x-y=0,平移直线l0,当l0经过平面区域内的点(2,-1)时,z取最大值5.[点评] 应注意线性目标函数z=ax+by当b>0与b<0时最值的不同.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为________.[答案] 11[解析] 如图,满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分),故z=4x+y在P(2,3)处取得最大值,最大值为11.10.(文)(2022·海南六校联考)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为________.[答案] -[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示.由,得.∴当点M的坐标为(3,-1)时,直线OM的斜率取最小值-.(理)(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知变量x,y满足约束条件,则的取值范围是________.[答案] (-1,-][解析] 画出约束条件表示的平面区域如图所示.表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围,∈[-3,-1),∴∈(-1,-].[点评] 数形结合思想在线性规划中的应用:线性规划问题的求解基本上是在图上完成的,注意图形要力求准确规范.另外还要记住常见代数式的几何意义:-13-\n(1)表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;(2)表示点(x,y)与点(a,b)的距离;(3)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率等.练习下列各题:①已知实数x、y满足不等式组且z=x2+y2+2x-2y+2的最小值为2,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.(-∞,]D.[答案] B[解析] 画出可行域如图所示,由题知z=(x+1)2+(y-1)2,过点(-1,1)作直线y=x的垂线,垂足为原点O,点(-1,1)与点O之间距离的平方恰好为2,说明点O一定在可行域内,则直线y=x+m在y轴上的截距m≤0,故选B.本题解题的关键是理解z的最小值为2的含义及观察出(-1,1)到原点距离的平方为2,这样最优解为O(0,0),从而知当y=x+m经过O点时,取最优解,不经过O点时,向哪移动才能保证点O在可行域内,即可得出问题的答案.②设实数x、y满足则u=的取值范围是( )A.[,2]B.[,]C.[,2]D.[2,][答案] A[解析] 在坐标平面上点(x,y)所表示的区域如图所示,令t=,根据几何意义,t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然kOA最小,kOB最大,-13-\n∵点A(3,1),点B(1,2),故≤t≤2.③(2022·濮阳模拟)已知点A(2,0),点P的坐标(x,y)满足则||·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________.[答案] 5[解析] ||·cos∠AOP即为在上的射影,即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值.由可得交点的坐标为(5,2),此时||·cos∠AOP取值最大,∴||·cos∠AOP的最大值为5.④设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.[2,4]D.[2,+∞)[答案] D[解析] 作出可行区域,如图,由题可知点(2,a2)应在点(2,4)的上方或与其重合,故a2≥4,∴a≥2或a≤-2,又a>0且a≠1,∴a≥2.⑤设实数x,y满足不等式组且x2+y2的最小值为m,当9≤m≤25时,实数k的取值范围是( )A.(-2,5)B.[-2,5]C.(-2,5]D.(0,5][答案] B[解析] 不等式组表示的可行域如图中的阴影部分,x2+y2的最小值m即为|OA|2,联立,得A(,).-13-\n由题知9≤()2+()2≤25,解得-2≤k≤5.⑥(2022·山东青岛一模)已知实数x,y满足约束条件则w=的最小值是( )A.-2B.2 C.-1D.1[答案] D[解析] 画出可行域,如图所示.w=表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,-1)连线的斜率,观察图形可知PA的斜率最小为=1,故选D.⑦(2022·安徽池州一中月考)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是( )A.[,]B.[,9]C.(-∞,9)D.[,9][答案] D[解析] 题中可行域M如图所示,y=ax2经过可行域M,则a>0,分别计算出经过(3,8),(1,9)点时a的值,则a1=,a2=9,所以a的取值范围为[,9],故选D.一、选择题11.(2022·遵义航天中学一模)设变量x,y满足约束条件,则S=的取值范围是( )A.[1,]B.[,1]-13-\nC.[,2]D.[1,2][答案] D[解析] 作出满足约束条件的可行域,图略,根据题意,s=可以看作是可行域中的一点与点(-1,-1)连线的斜率,由图分析易得:当x=1,y=0时,其斜率最小,即s=取最小值;当x=0,y=1时,其斜率最大,即s=取最大值2,故s=的取值范围是[,2],故选D.12.(2022·山师大附中模拟)若实数x,y满足条件,则2x+y的最大值是( )A.8B.7 C.4D.2[答案] B[解析] 首先根据题意画出约束条件所表示的区域如图所示,然后令z=2x+y,则y=-2x+z,要求2x+y的最大值,即是求y=-2x+z的截距最大,由图可知,当直线y=-2x+z过点C时,其截距最大,联立直线方程解之得即点C的坐标为(3,1),将其代入z=2x+y得,z=2×3+1=7.13.(2022·成都市树德中学期中)设x、y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则+的最小值为( )A.B. C.D.[答案] D[解析] ∵a>0,b>0,∴目标函数z=ax+by在经过点A时取到最大值,解得∴4a+6b=6,∴2a+3b=3,∴+=(+)·(2a+3b)=(26++)≥(26+2×12)=,等号成立时,a=b=.-13-\n14.(文)(2022·郑州市质检)设实数x,y满足不等式组,则x2+y2的取值范围是( )A.[1,2]B.[1,4]C.[,2]D.[2,4][答案] B[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示,x2+y2表示的几何意义为平面区域内的点到坐标原点距离的平方,∴x2+y2∈[1,4].(理)(2022·衡水中学五模)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a,b>0)的最大值是12,则a2+b2的最小值是( )A.B. C.D.[答案] D[解析] 作出可行域如图,∵z=ax+by的最大值为12,a>0,b>0,∴当直线z=ax+by经过点A(4,6)时z取到最大值,∴4a+6b=12,∴2a+3b=6,∵原点到直线2x+3y=6的距离d=,∴a2+b2的最小值为.-13-\n二、填空题15.设变量x、y满足约束条件其中a>1,若目标函数z=x+y的最大值为4,则a的值为________.[答案] 2[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵y=-x+z,∴欲使z最大,只需使直线y=-x+z的纵截距最大,∵a>1,∴直线x+ay=7的斜率大于-1,故当直线y=-x+z经过直线y=3x与直线x+ay=7的交点(,)时,目标函数z取得最大值,最大值为.由题意得=4,解得a=2.16.(2022·焦作市期中)已知点O为坐标原点,点M(2,-1),点N(x,y)满足不等式组,则·的最大值为________.[答案] 10[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,设·=z,则z=2x-y作直线l0:y=2x,平移直线l0可知当直线z=2x-y经过可行域内的点B(4,-2)时,-z取最小值,从而z取最大值,zmax=2×4-(-2)=10.三、解答题17.某人有楼房一幢,室内面积共计180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大收益?[解析] 设隔出大房间x间,小房间y间时收益为z元,则x,y满足且z=200x+150y.约束条件可化简为:可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l:200x+150y=0,即直线l:4x+3y=0把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过点B,且与原点的距离最大,此时z=200x+150y取得最大值.解方程组得到B(,).-13-\n由于点B的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的x,y必须都是整数,所以,可行域内的点B(,)不是最优解,通过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z取最大值1800元.于是,隔出小房间12间,或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.[点评] 当所求解问题的结果是整数,而最优解不是整数时,可取最优解附近的整点检验,找出符合题意的整数最优解.-13-
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