【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第8章 第7节 圆锥曲线的综合问题（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第7节圆锥曲线的综合问题新人教B版一、选择题1．(文)(2022·云南部分名校联考)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，a＋b＝7，则双曲线的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．[答案]　D[解析]　由·＝0得∠F1PF2＝90°，在△F1PF2中有|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝4c2.由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a，且|PF1||PF2|＝18，代入得b＝3，∴a＝4，c＝5，则离心率为.(理)(2022·湖北荆门调研)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．(1，)　　　　　　B．(，)C．(，2)D．(2，＋∞)[答案]　D[解析]　过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得M(，)．由点M在以线段F1F2为直径的圆外，得()2＋()2>c2，∴1＋>4，∴e＝>2.2．(2022·北京石景山统一测试)已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1且·＝0，则||的最小值为(　　)A.B．3C.D．1[答案]　A-12-\n[解析]　在椭圆C：＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小．设P(x0，y0)，则|PM|2＝|PF|2－1＝(x0－3)2＋y－1＝(x0－3)2＋16－－1＝x－6x0＋24＝(x0－)2－1，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时，|PM|2取到最小值3，∴|PM|min＝..3．(文)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为(　　)A．5　　B．4　　　　C．3　　D．2[答案]　C[解析]　由题意设直线l的方程为y＝(x－)，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝||＝3.(理)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是(　　)A.B．C.D．[答案]　B[解析]　∵M(1，m)到焦点距离为5，∴M到准线距离为5，又xM＝1，∴＝4，∴p＝8，∴y2＝16x，当x＝1时，y＝±4，∵m>0，∴m＝4，即M(1,4)，双曲线左顶点A(－，0)，∴kMA＝，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，由题意知＝，∴a＝.4．(2022·辽宁省协作校三模)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝-12-\nπ，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则的最大值为(　　)A.B．C.D．[答案]　B[解析]　如图，由抛物线定义及条件知，|MM′|＝(AA′＋BB′)＝(|AF|＋|BF|)．∴()2＝＝＝(1＋)≤(1＋)＝，∴≤，等号成立时，|AF|＝|BF|.5．(文)(2022·唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线－＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1[答案]　D[解析]　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，-12-\n由e＝可得a＝2b，∴椭圆方程为＋＝1，而渐近线y＝±x与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m，则m2＝4⇒m＝2，从而点(2,2)在椭圆上，即：＋＝1⇒b2＝5，于是a2＝20，椭圆方程为＋＝1，应选D.(理)(2022·浙江桐乡四校联考)点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为(　　)A.＋1B．C.D．－1[答案]　A[解析]　∵a2＋b2＝c2，∴⊙C2以F1F2为直径，∴PF1⊥PF2，∵∠PF2F1＝2∠PF1F2，∴∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c，由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，∴c－c＝2a，∴e＝＝＋1.6．(2022·广东汕头一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)A．3个B．4个C．6个D．8个[答案]　C[解析]　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理，当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．二、填空题7．(文)(2022·唐山一中月考)已知双曲线－＝1(a，b>0)的右焦点F，若过F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案]　[2，＋∞)[解析]　由条件知≥tan60°＝，∴≥3，∴e≥2.-12-\n(理)已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案]　(1，)[解析]　由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，即e2<2，∵e>1，∴1<e<.8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．[答案]　2[解析]　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.9．(2022·山东文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．[答案]　y＝±x[解析]　抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋)，根据已知得a2(1＋)＝c2　①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2　②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.三、解答题10．(文)(2022·唐山一模)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．[解析]　(1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2.由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a＝，c＝1，b＝1，曲线Γ的方程为＋y2＝1.(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P(，)．于是直线AP方程为y＝(x＋1)．由，解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－.-12-\n由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，)．(理)(2022·唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．[解析]　(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0.①由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2＞0，解得k<－或k>，即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，知x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)．所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入，解得k＝.由(1)知k＜－或k＞，故不存在符合题意的常数k.一、解答题11．(文)(2022·湖南岳阳一模)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0.-12-\n(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．[解析]　(1)∵点P(－，1)在椭圆上，∴＋＝1.①又∵＋＝0，M在y轴上，∴M为PF2的中点，∴－＋c＝0，c＝.∴a2－b2＝2，②联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4.故所求椭圆C的方程是＋＝1.(2)∵点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，∴解得∴3x1－4y1＝－5x0.∵点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，∴－2≤x0≤2，∴－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．(理)(2022·中原名校联考)已知A(1,0)，P为圆F：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时．(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点D(0,1)，是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使(＋)·＝0，若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析]　(1)依题意知：|QF|＋|QA|＝|PF|＝4>|FA|＝2，所以点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)∵条件(＋)·＝0等价于||＝||，∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则点D(0,1)在x轴上，矛盾．∴可设直线l：y＝kx＋m(k≠0)，由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得4k2＋3＞m2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，-12-\n则x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.又∵||＝||，∴＝－，即＝－，解得：m＝－3－4k2.由4k2＋3＞m2得4k2＋3＞(3＋4k2)2，即4k2＜－2，这是不可能的．故满足条件的直线不存在．12．(文)(2022·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．[解析]　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，则|TS|＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以|TS|＝2＝2，是定值．(理)(2022·山西大学附中月考)已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设＝α，＝β，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．[解析]　(1)证明：设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，联立方程得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－，0)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.②∴|MA|·|MB|＝|x1－0|·|x2－0|＝，-12-\n而|MC|2＝(|－－0|)2＝，∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列．(2)由＝α，＝β得(x1，y1－2)＝α(－x1－，－y1)，(x2，y2－2)＝β(－x2－，－y2)，即得α＝，β＝，则α＋β＝.将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.13．(文)(2022·东北三校联考)已知点E(m,0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．[解析]　(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，设AB方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4.AB中点M(，)，∴M(＋1，)；同理，点N(2k＋1，－2k1)．∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.(2)设AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4m，AB中点M(，)，∴M(＋m，)；-12-\n同理，点N(＋m，)．∵k1＋k2＝1，∴kMN＝＝＝k1k2，∴lMN：y－＝k1k2[x－(＋m)]，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2)．(理)(2022·洛阳市期中)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解析]　(1)∵左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为，∴＝，解得c＝1.又e＝＝，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求椭圆C的方程为：＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为3＋4k2>m2.∴x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，∴·＝－1，∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，∴＋＋＋4＝0.化为7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－.且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m＝－时，l：y＝k(x－)，直线过定点(，0)．综上可知，直线l过定点(，0)．14．(文)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；-12-\n(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．[解析]　(1)依题意有解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由消去y得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有所以k2>3.②因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.(理)(2022·天津河东区二模)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足·<6(其中O为原点)，求k的取值范围．[解析]　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2得b2＝1.故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得，Δ1＝128k2－16(1＋4k2)＝16(4k2－1)>0，即k2>.①-12-\n将y＝kx＋代入－y2＝1得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点得，②即k2≠且k2<1.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xA·xB＝，由·<6得xAxB＋yAyB<6，xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝.于是<6，即>0，解此不等式得，k2>或k2<.③由①、②、③得，<k2<或<k2<1.故k的取值范围为(－1，－)∪(－，－)∪(，)∪(，1)．-12-