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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第5章 第4节 向量的应用及向量与其他知识的综合问题(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第4节向量的应用及向量与其他知识的综合问题新人教B版一、选择题1.(文)在△ABC中,(+)·=||2,则三角形ABC的形状一定是(  )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知||2=(+)·(-)=||2-||2,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形.(理)(2022·邯郸模拟)设P是曲线y=上一点,点P关于直线y=x的对称点为Q,点O为坐标原点,则·=(  )A.0  B.1    C.2  D.3[答案] C[解析] 设P(x0,),则Q(,x0),∴·=x0·+·x0=2.2.(文)(2022·咸阳诊断)如图,BC是单位圆A的一条直径,F是线段AB上的点,且=2,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则·的值是(  )A.-B.-C.-D.不确定[答案] B[解析] 依题意得·=(+)·(+)=(+)·(-)=2-2=()2-2=-11-\n-1=-,故选B.(理)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,则·的最大值为(  )A.8  B.6    C.5  D.4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图,∵正方形ABCD边长为2,∴A(0,0),N(2,-1),=(2,-1),设M坐标为(x,y),=(x,y)由坐标系可知∵·=2x-y,设2x-y=z,易知,当x=2,y=-2时,z取最大值6,∴·的最大值为6,故选B.3.(文)(2022·东营模拟)设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则(  )A.|a|<|b|,且θ是钝角B.|a|<|b|,且θ是锐角C.|a|>|b|,且θ是钝角D.|a|>|b|,且θ是锐角[答案] D[解析] ∵f(x)=(-a·b)x2+(|a|2-|b|2)x+a·b在(0,+∞)上有最大值,∴∴∴|a|>|b|且θ为锐角.(理)已知a、b为非零向量,m=a+tb(t∈R),若|a|=1,|b|=2,当且仅当t=时,|m|取得最小值,则向量a、b的夹角为(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵m=a+tb,|a|=1,|b|=2,令向量a、b的夹角为θ,∴|m|=|a+tb|===.又∵当且仅当t=时,|m|最小,即+=0,∴cosθ=-,∴θ=.故选C.4.(2022·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(-11-\nsinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=1+cos(A+B)即sinC=1-cosC,所以sin(C+)=,又因为C为△ABC的内角,所以C+=,即C=.5.(2022·广州梅州二模)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则P点坐标为(  )A.(-3,0)B.(3,0)C.(2,0)D.(4,0)[答案] B[解析] 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,∴当x=3时·有最小值,∴P(3,0).6.(文)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足x+y+=0(x,y∈R),则当点P在以A为圆心,||为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为(  )A.4x2+y2+2xy=1B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1[答案] D[解析] ∵x+y+=0,∴=x+y,∵AD=2AB,∠BAD=60°,∴BD=AB,∴||=||=||,∴||2=(x+y)2=x2||2+y2||2+2xy··=x2||2+4y2||2+2xy·||·||·cos60°=(x2+4y2+2xy)||2,∴x2+4y2+2xy=1,故选D.(理)(2022·山西大学附中二模)过抛物线x2=2py的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB为(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定[答案] C-11-\n[解析] 设直线l的方程为y=kx+,由,得x2-2pkx-p2=0,∴x1x2=-p2,y1y2==,=(x1,y1),=(x2,y2),·=x1x2+y1y2=-p2+=-p2<0,∴∠AOB为钝角,故选C.二、填空题7.(2022·济南模拟)在△ABC中,E为AC上一点,且=4,P为BE上一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则+取最小值时,向量a=(m,n)的模为________.[答案] [解析] 因为=m+n=m+4n,B,P,E三点共线,所以m+4n=1,(m+4n)(+)=1++4+≥5+4=9,当且仅当=,即m=2n时取等号,此时m=,n=,所以|a|==.8.(文)(2022·晋江调研)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为.以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________.[答案] [解析] ∵|a+b|2-|a-b|2=4a·b=4|a||b|cos=4>0,∴|a+b|>|a-b|,又|a-b|2=a2+b2-2a·b=3,∴|a-b|=.(理)(2022·南京盐城二模)已知||=1,||=2,∠AOB=,=+,则与的夹角大小为________.[答案] [解析] 令=,=,因为||=1,||=2,所以||=||,由=+=+,可知四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角,因为∠AOB=,所以∠AOC=.9.(2022·江西南昌二模)关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)-11-\n[答案] ②[解析] 由a·b=a·c得a·(b-c)=0,∴(b-c)⊥a,∴命题①错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.三、解答题10.(文)(2022·漳县二中月考)已知向量a=(sinθ,cosθ)与b=(,1),其中θ∈(0,).(1)若a∥b,求sinθ和cosθ的值;(2)若f(θ)=(a+b)2,求f(θ)的值域.[解析] (1)∵a∥b,∴sinθ·1-cosθ=0,求得tanθ=.又∵θ∈(0,),∴θ=.∴sinθ=,cosθ=.(注:本问也可以结合sin2θ+cos2θ=1或化为2sin(θ-)=0来求解)(2)f(θ)=(sinθ+)2+(cosθ+1)2=2sinθ+2cosθ+5=4sin(θ+)+5,又∵θ∈(0,),θ+∈(,),<sin(θ+)≤1,∴7<f(θ)≤9,即函数f(θ)的值域为(7,9].(理)(2022·福建福州质检)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,-),n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n.(1)求锐角B的大小;(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.[解析] (1)∵m∥n,∴2sinB(2cos2-1)=-cos2B,∴sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=.(2)∵B=,b=2,由余弦定理cosB=,得a2+c2-ac-4=0.又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,当且仅当a=c=2时等号成立.故S△ABC=acsinB=ac≤,-11-\n当且仅当a=c=2时等号成立,即S△ABC的最大值为.一、选择题11.(文)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是(  )A.(2,±2)B.(1,±2)C.(1,2)D.(2,2)[答案] B[解析] 由题意F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),∵·=-4,∴(1-)-y=-4,解得y0=2或y0=-2.∴当y0=2时,x0==1;当y0=-2时,x0==1.故A(1,±2).故选B.(理)(2022·襄阳一中检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为点A,且与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.2[答案] D[解析] 设∠FOA=α,∵OA⊥FB,且=2,∴OA为FB的中垂线,∴∠FOB=2α,∵tanα=,tan2α=-,∴=-,∴()2=3,∴=3,∴e==2.12.(2022·江南十校一模)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(cosθ,sinθ),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为(  )A.-1B.1-11-\nC.D.3-2[答案] D[解析] 因为ma+nb=c,所以m(1,1)+n(1,-1)=(cosθ,sinθ),所以则(m+n)2+(m-n)2=2,即m2+n2=1,所以点P(m,n)在以原点O为圆心,以1为半径的圆上,(m-1)2+(n-1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方,由圆的性质知(m-1)2+(n-1)2的最小值是(-1)2=3-2.13.(文)(2022·四川成都五校联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,点P是BC的中点,设=α+β(α,β∈R),则α+β等于(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] 建立如图所示的坐标系,B(3,0),D(0,1),C(1,1).∵P为BC的中点,∴P(2,).∵=α+β,∴(2,)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),∴3β=2,α=,∴α+β=,故选D.(理)若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M、N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0,则A·ω等于(  )A.B.π-11-\nC.πD.π[答案] C[解析] 由图可知,T=4(-)=π,∴ω=2.∵M(,1)在图象上,∴sin(2×+φ)=1,∵|φ|=,∴φ=,∴y=Asin(2x+),又∵M(,A),N(,-A),·=0,∴×-A2=0,∴A=π,∴A·ω=2×π=π,故选C.14.(2022·内蒙古赤峰市统考)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F1(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长F1E交双曲线右支于点P,若=(+),则双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵PF1与圆x2+y2=相切,∴OE⊥PF1,且OE=,∵=(+),∴E为PF1的中点,又O为F1F2的中点,∴|PF2|=2|OE|=a,由双曲线定义知,|PF1|=|PF2|+2a=3a,在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴a2+9a2=4c2,∴e2=,∵e>1,∴e=.二、填空题15.(2022·天津和平区质量调查)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,E为AD的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为________.[答案] -[解析] 如图,由已知得BD=1,CD=2,∴=,=.-11-\n=+=--=--(+)=---=--,∴λ=-,μ=-,∴λ+μ=-.[点评] 用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素(如将线段表示为向量),将平面几何问题转化为向量问题,要特别注意挖掘题目中的隐含条件;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系,将问题坐标化,利用平面向量的坐标运算解决有关问题.16.(2022·开封四中期中)在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,=2,=3,则·的值为________.[答案] -[解析] ∵=2,∴D为BC的中点,∴=(+);∵=3,∴=,∴·=(+)·(-+)=-||2-·+||2=-×22-×22×cos120°+×22=-.三、解答题17.已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足·=0,=--11-\n,当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程.[解析] 设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b>0),则=(a,3),=(x-a,y),=(-x,b-y),由·=0,得a(x-a)+3y=0.①由=-得,(x-a,y)=-(-x,b-y)=(x,(y-b)),∴∴把a=-代入①,得-(x+)+3y=0,整理得y=x2(x≠0).18.(文)点D是三角形ABC内一点,并且满足AB2+CD2=AC2+BD2,求证:AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC,则只需要证明·=0,可设=m,=c,=b,将用m,b,c线性表示,然后通过向量的运算解决.[证明] 设=c,=b,=m,则=-=m-c,=-=m-b.∵AB2+CD2=AC2+BD2,∴c2+(m-b)2=b2+(m-c)2,即c2+m2-2m·b+b2=b2+m2-2m·c+c2,∴m·(c-b)=0,即·(-)=0,∴·=0,∴AD⊥BC.(理)已知四边形ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F.求证:AF=AE.[证明] 如图,建立平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设E(x,y),则=(x,y-1),=(1,-1),-11-\n又∥,∴x·(-1)-1×(y-1)=0,∴x+y-1=0 ①.又||=||,∴x2+y2-2=0 ②.由①②得或(舍去),即E(,).设F(x′,1),由=(x′,1)和=(,)共线得x′-=0,解得x′=-2-,∴F(-2-,1),∴=(-1-,0),=(,-),∴||==1+=||,∴AF=AE.-11-

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发布时间:2022-08-26 00:13:46 页数:11
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文章作者:U-336598

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