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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第5章 第3节 平面向量的数量积(含解析)新人教B版

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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积新人教B版一、选择题1.(2022·广东揭阳一中期中)已知a=(0,2),b=(1,1),则下列结论中正确的是(  )A.(a-b)⊥(a+b)  B.(a-b)⊥bC.c∥bD.|a|=|b|[答案] B[解析] 显然a与b不共线,且|a|=2,|b|=,∴C、D错误;又a-b=(-1,1),∵(a-b)·b=0,∴(a-b)⊥b,故选B.2.在△ABC中,“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的(  )A.充分不必要条件   B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当·<0时,A为钝角,△ABC一定是钝角三角形,而当△ABC是钝角三角形时,不一定有·<0.因此“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.故选A.3.(2022·天津六校联考)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在向量方向上的射影为(  )A.B.C.-D.-[答案] A[解析] 由题意知,△ABC的边BC过圆心O,∴∠BAC=90°.||=||=1,∴在向量方向上的射影为||cos60°=.4.(文)(2022·沈阳铁路实验中学期中)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为(  )A.B.C.D.[答案] A[解析] 由条件知a·b=1,∴a·(a+2b)=|a|2+2a·b=6,|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4+4=12,-12-\n∴cos〈a,a+2b〉===,∴〈a,a+2b〉=.(理)(2022·大连测试)已知向量|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=,则|a+b|为(  )A.9B.7C.3D.[答案] D[解析] 依题意得|a+b|====,选D.5.(文)(2022·保定模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,·=1,则BC=(  )A.B.C.2D.3[答案] D[解析] 设BC=x(x>0),∵·=1,∴3x·cosC=1,又cosC=,∴3x·=1,∴x=3.(理)(2022·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心,若∠A=120°,·=-2,则||的最小值是(  )A.B.C.D.[答案] C[解析] 在△ABC中,延长AG交BC于D,∵点G是△ABC的重心,∴AD是BC边上的中线,且AG=AD.∵·=||||cos120°=-2,∴||||=4.∵=,2=+,∴=(+).∴2=[(+)]2-12-\n=(2+2·+2)≥[2||||+2×(-2)]=,∴2≥,∴||≥,∴||的最小值是.6.(文)(2022·重庆理,10)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是(  )A.(0,]B.(,]C.(,]D.(,][答案] D[解析] 因为⊥,所以以A为原点,分别以,所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则=+=(a,b),即P(a,b).由||=||=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1.所以(x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0.由||<,得(x-a)2+(y-b)2<,即0≤1-x2+1-y2<.所以<x2+y2≤2,即<≤.所以||的取值范围是(,],故选D.(理)(2022·辽宁理,9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有(  )A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)(b-a3-)=0D.|b-a3|+|b-a3-|=0[答案] C[解析] 依题意,a≠0.因为△ABC是直角三角形,则O不可能为直角顶点,若∠-12-\nA为直角,则有b=a3;若∠B为直角,则有⊥,·=(a,a3)·(a,a3-b)=a2+a3(a3-b)=0,所以b=a3+,选C.二、填空题7.(2022·湖南岳阳一中月考)平面向量a,b,e满足:|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则向量a-b与e的夹角为________.[答案] [解析] 设a-b与e的夹角为θ,则cosθ===-,∵θ∈[0,π],∴θ=.8.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线,则k=________.[答案] -[解析] ∵A、B、C三点共线,∴与共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),∴-2(4-k)-(-7)·(-2k)=0,∴k=-.9.已知M、N为平面区域内的两个动点,向量a=(1,3),则·a的最大值是________.[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,由于a=(1,3),直线AB:3x-y-6=0,显见a是直线AB的一个方向向量,由于M、N是△ABC围成区域内的任意两个点,故当M、N分别为A、B点时,·a取最大值,求得A(0,-6),B(4,6),∴==(4,12),∴·a=40.-12-\n三、解答题10.(文)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的长度的最大值;(2)设α=,且a⊥(b+c),求cosβ的值.[分析] (1)由向量坐标运算定义可求b+c,由模的定义得到关于α的三角函数关系式,化为一个角的一个三角函数,即可求得最值,或依据向量模的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|求解.(2)∵α=,∴a已知,由a⊥(b+c)⇔a·(b+c)=0可得到关于cosβ的方程,解方程即可.[解析] (1)解法1:b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的长度的最大值为2.解法2:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2,当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2.所以向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法1:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.由α=,得cos(-β)=cos,即β-=2kπ±(k∈Z),∴β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1.解法2:若α=,则a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=cosβ+sinβ-.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求.(理)(2022·浙江联谊学校期中)已知a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且θ∈[0,].(1)求的最值;(2)是否存在k的值使|ka+b|=|a-kb|?[解析] (1)由已知得a·b=coscos-sinsin=cos2θ,∵θ∈[0,],∴|a+b|===2cosθ,-12-\n∴==cosθ-,令cosθ=t,t∈[,1],∴cosθ-=t-,(t-)′=1+>0,∴y=t-为增函数,其最大值为,最小值为-,∴的最大值为,最小值为-.(2)假设存在k的值满足题设条件,则|ka+b|2=3|a-kb|2.∵|a|=|b|=1,a·b=cos2θ,∴cos2θ=,∵θ∈[0,],∴-≤cos2θ≤1,∴-≤≤1,∴存在2-≤k≤2+或k=-1.一、选择题11.(2022·沈阳市二检)已知▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则的坐标为(  )A.(-,-6)B.(-,6)C.(,-6)D.(,6)[答案] B[解析] =(+)=(-,6),故选B.12.(文)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b的夹角为60°,直线xcosα-ysinα=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是(  )A.相切B.相交C.相离D.随α,β值的变化而变化[答案] B[解析] |a|=1,|b|=1,a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),∵〈a,b〉=60°,∴cos60°=,∴cos(α-β)=,圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα=0的距离-12-\nd==|cos(α-β)|=<,∴直线与圆相交.(理)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为(  )A.y2=8xB.y2=4xC.y2=16xD.y2=4x[答案] B[解析] 如图,△ABC为直角三角形,由抛物线定义及条件知,|AC|=|AF|=|FB|=|AB|,∴∠ABC=,设|AC|=t,则|AB|=2t,∴|BC|=t,∴·=||·||·cos∠ABC=2t·t·cos=3t2=48,∴t=4,∴p=|DF|=2,∴抛物线方程为y2=4x,故选B.13.(文)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于(  )A.6  B.5    C.4  D.3[答案] D[解析] ∵BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,∴100=AB2+AC2+32,∴AB2+AC2=68.2=+,∴4||2=|+|2=2+2+2·=68-32=36,∴||=3.(理)(2022·天津河东区一模)已知平面向量|p|=2,|q|=3,p、q的夹角为,如图,若-12-\n=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||的长为(  )A.B.C.D.[答案] B[解析] p·q=|p|·|q|cos=2×3×=6.||2=(5p+2q)2=25p2+20p·q+4q2=200+120+36=356.||2=(p-3q)2=p2-6p·q+9q2=8-36+81=53.·=(5p+2q)·(p-3q)=5p2-13p·q-6q2=-92.∵=,∴||2=(2+2·+2)=(356-184+53)=,∴||=.14.(文)(2022·甘肃省三诊)已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是(  )A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2][答案] B[解析] ·=-2x+y,画出不等式组,表示的平面区域如图所示.当点M的坐标为(1,1)时,·取最小值-1,当点M的坐标为(0,2)时,·=2,故选B.-12-\n(理)(2022·郑州市质检)如图所示,点A、B、C是圆O上的点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若=m+2m,=λ,则λ=(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵=-,=-,又=λ,∴-=λ-λ,∴=(1-λ)+λ,∴1-λ+λ=1,设=k;∵=m+2m,∴=+,∴+=1,∴k=3m,∴=+,∴λ=.二、填空题15.(2022·石家庄市质检)若向量a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-b在向量b方向上的投影为________.[答案] -[解析] 设a-b与b的夹角为θ,∴cosθ=,∴a-b在b方向上的投影为|a-b|cosθ===-.16.(2022·海南六校联考)在矩形ABCD中,AB=3,BC=,=2,点F在边CD上,若·=3,则·=________.[答案] -4[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,-12-\n设F(x,),∵=(3,0),=(x,),∴·=3x=3,∴x=1,又∵=2,∴E(3,),∴=(3,),=(-2,),∴·=-6+2=-4.三、解答题17.(文)设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.(1)求角C的大小;(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.[解析] (1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,再由余弦定理得cosC==.因为0<C<π,所以C=.(2)因为s+t==(cosA,cosB),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2=+=cos2A-sin2A+1=-sin+1.因为0<A<,所以-<2A-<,则-<sin≤1,所以-≤-sin(2A-)<,所以≤|s+t|2<,故≤|s+t|<.(理)(2022·甘肃嘉峪关市一中三模)已知△ABC的内角是A、B、C,a、b、c分别是其所对的边长,向量m=(,cos(π-A)-1),n=(cos(-A),1),m⊥n.(1)求角A的大小;(2)若a=2,cosB=,求b的长.-12-\n[解析] (1)∵m⊥n,∴m·n=cos(-A)+cos(π-A)-1=sinA-cosA-1=2sin(A-)-1=0,∴sin(A-)=,∵0<A<π,∴-<A-<,∴A-=,∴A=.(2)∵cosB=,∴sinB=,由正弦定理=,∴=,∴b=.18.(文)(2022·苏南四校月考)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,3).(1)当m∥n时,求的值;(2)设函数f(x)=(m+n)·m,求f(x)的单调增区间;(3)已知在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,c=2asin(A+B),对于(2)中的函数f(x),求f(B+)的取值范围.[解析] (1)由m∥n,可得3sinx=-cosx,于是tanx=-.∴===-.(2)∵f(x)=(m+n)·m=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-2=+sin2x-2=sin(2x-)-,∵2kπ-≤2x-≤2kπ+,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴所求增区间为:[kπ-,kπ+](k∈Z).(3)∵在△ABC中,A+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC,由正弦定理知:sinC=2sinA·sinC,∵sinC≠0,∴sinA=,∴A=.-12-\n又△ABC为锐角三角形,于是<B<,∴f(B+)=sin[2(B+)-]-=sin2B-.由<B<得<2B<π,∴0<sin2B≤1,得-<sin2B-≤-.即f(B+)∈(-,-].(理)(2022·福建泉州质检)已知向量a=(2,2),向量b与向量a的夹角为,且a·b=-2.(1)求向量b;(2)若t=(1,0)且b⊥t,c=(cosA,2cos2),其中A,C是△ABC的内角,若三角形ABC的三内角A,B,C依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.[解析] (1)设b=(x,y),则2x+2y=-2,①且|b|==1,∴=1②由①②解得或所以b=(-1,0)或b=(0,-1).(2)因为A,B,C依次成等差数列,所以B=.因为b⊥t,且t=(1,0),所以b=(0,-1).所以b+c=(cosA,2cos2-1)=(cosA,cosC),所以|b+c|2=cos2A+cos2C=1+(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A-C)=1-cos(A-C).因为-<A-C<,所以-<cos(A-C)≤1,∴<|b+c|2<,所以≤|b+c|<.-12-

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发布时间:2022-08-26 00:13:46 页数:12
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文章作者:U-336598

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