【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标表示（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第5章第2节平面向量基本定理及向量的坐标表示新人教A版一、选择题1．(文)(2022·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为(　　)A．－1　B．1C．－2　D．2[答案]　A[解析]　设a＝λb(λ<0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ<0，∴m＝－1.[点评]　1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x1，x2)，b＝(y1，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b与＝不等价．2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2022·哈尔滨质检)已知平面向量a＝(2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)A．　　　　　　　B．2C．　D．或2[答案]　B[解析]　据题意a∥b则m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝，当m＝时a＝(4,3)，b＝(2，)，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2.2．(2022·山东青岛期中)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)A．a＝－b　B．a∥b-12-\nC．a＝2b　D．a⊥b[答案]　A[解析]　由题意得＝－，而表示与a同向的单位向量，－表示与b反向的单位向量，则a与b反向．而当a＝－b时，a与b反向，可推出题中条件．易知B，C，D都不正确，故选A．[警示]　由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量，要知道它的模长为1，方向同a的方向；(2)对于任意非零向量a来说，都有两个单位向量，一个与a同向，另一个与a反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2022·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，＝xa＋b，＝a＋yb(x，y∈R)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是(　　)A．直线　B．双曲线C．圆　D．椭圆[答案]　B[解析]　∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.则xa＋b＝λ(a＋yb)⇒⇒xy＝1，故选B．4．(文)已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(1,1)，则用a、b表示向量c为(　　)A．2a－b　B．－a＋2bC．a－2b　D．3a＋2b[答案]　D[解析]　设c＝xa＋yb，∴(1,1)＝(x－y，－x＋2y)，∴解之得∴c＝3a＋2b，故选D．(理)(2022·德州模拟)设＝x＋y，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x＋y＝(　　)A．－1　B．1C．0　D．2-12-\n[答案]　B[解析]　如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ＝(1－λ)＋λ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.[点评]　用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．5．(文)(2022·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)A．　B．C．　D．[答案]　D[解析]　由平行四边形法则和图示可知，选D．(理)(2022·福州质检)如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为(　　)-12-\nA．3e2－e1　B．－2e1－4e2C．e1－3e2　D．3e1－e2[答案]　C[解析]　如图所示，a－b＝＝e1－3e2，故应选C．6．(2022·新课标全国Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　如图，＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝.选A．二、填空题7．(文)(2022·安徽省级示范高中联考)设向量a＝(x,3)，b＝(2,1)，若对任意的正数-12-\nm，n，向量ma＋nb始终具有固定的方向，则x＝________.[答案]　6[解析]　当a与b共线时，向量ma＋nb始终具有固定的方向，则1×x＝2×3，所以x＝6.(理)(2022·宜春质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.[答案]　[分析]　由B，H，C三点共线可用向量，来表示.[解析]　由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.[点评]　应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．8．(2022·烟台调研)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．[答案]　4[解析]　由题意可知，AD＝BC＝＝，(＋)·＝2·＝2||2＝4.9．(2022·河北二调)在△ABC中，AC＝1，AB＝2，A＝，过点A作AP⊥BC于点P，且＝λ＋μ，则λμ＝________.[答案]　[解析]　由题意知·＝2×1×cos＝－1，∵AP⊥BC，∴·＝0，即(λ＋μ)·(－)＝0，-12-\n∴(λ－μ)·－λ2＋μ2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝λ，①∵P，B，C三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得，即λμ＝×＝.三、解答题10．(文)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.[解析]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．(理)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)．(1)记＝a，＝tb，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－xb|的值最小？[解析]　(1)∵A、B、C三点共线，∴与共线，又∵＝－＝tb－a，＝－＝b－a，∴存在实数λ，使＝λ，即tb－a＝b－a，∴t＝.(2)∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－，∴|a－xb|2＝|a|2＋x2|b|2－2x·a·b＝1＋x2＋x＝(x＋)2＋≥，-12-\n∴|a－xb|的最小值为，此时x＝－.一、选择题11．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为(　　)A．2　B．－2C．2或－2　D．或－[答案]　C[解析]　以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C．12．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)A．　　B．　　C．　　D．1[答案]　A[解析]　本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得＝＝λ＋μ，整理得＝2λ＋2μ，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝.13．(文)(2022·浙江十校联考)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b-12-\n间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)A．a⊥b　B．b⊥(a－b)C．a⊥(a－b)　D．(a＋b)⊥(a－b)[答案]　B[解析]　由于d(a，b)＝|a－b|，所以对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，由图示可知，向量a－tb的模的最小值是a－b的模，故a－b与b垂直，故选B．(理)(2022·浙江)记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设a，b为平面向量，则(　　)A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2[答案]　D[解析]　由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋b|2>|a|2＋|b|2.当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|2<|a|2＋|b|2<|a－b|2.当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.故选D．14．(文)(2022·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)A．1　B．C．　D．2[答案]　B[解析]　方法一：以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设〈，〉＝θ，θ∈[0，]，则＝(1,0)，＝(0,1)，＝(cosθ，sinθ)．-12-\n∵＝x＋y，∴∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，又θ＋∈[，]，∴x＋y的最大值为.方法二：因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2＝1≥.所以x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．(理)(2022·皖南八校联考)已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB上的动点(可以与A或B重合)，如图所示，则·的最大值是(　　)A．1　B．C．0　D．－1[答案]　C[解析]　设＝a，＝b，则＝λ＝λa(0≤λ≤1)．＝－＝λa－b，∴·＝·(－)＝(λa－b)·(－a)＝－λa2＋a·b＝－λ.又0≤λ≤1，∴·的最大值为0，故选C．二、填空题15．(2022·开封第一次模拟)已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，且λb－a与a垂直，则实数λ＝________.[答案]　[解析]　依题意得(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，λ＝.16．(文)(2022·广雅中学月考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD、AB-12-\n的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝________.[答案]　－4[解析]　＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，∴m＝，n＝－1，∴＝－4.(理)(2022·南安一中质检)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，用基底a、b表示向量＝________.[答案]　a＋b[分析]　先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．[解析]　易得＝＝b，＝＝a，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.由C、E、M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.由于a、b为基底，所以解得所以＝a＋b.三、解答题17．(2022·宁阳一中检测)如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．-12-\n[解析]　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理得∴∴＝，即AP∶PM＝4∶1.18．如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1,1)．(1)求||；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△OAB的面积最小，并求出最小值．[解析]　(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|ON|＝1，|OM|＝|NP|＝1，∠ONP＝120°，∴||＝＝.(2)设||＝x，||＝y.-12-\n＝m＋n　(m＋n＝1)，则＝m＋n＝mxe1＋nye2＝e1＋e2.得⇒＋＝1.S△AOB＝||||sin60°＝xysin60°＝xy.因为＋＝1≥，所以≥2，S△AOB＝xy≥，当且仅当x＝y＝2，即当A(2,0)，B(0,2)时，△AOB面积最小，最小值为.-12-