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高考数学总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教B版

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5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,且O是△ABC的外心,则·=(  )A.6    B.-6   C.8    D.-8[答案] D[解析] ∵AB2=AC2+BC2,∴∠ACB为直角,∵O为△ABC外心,∴·=-·=-(+)·=-||2-·=-8.(理)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则·=(  )A.1    B.2    C.3    D.4[答案] B[解析] 由条件知AB=2,CD=1,BC=,∴MB=MC=,15\n∴·=||·||·cos45°=×2×=1,·=||·||·cos135°=×1×=-,∴·=(+)·(+)=·+·+·+·=-2++1+2×1=2,故选B.2.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sinA,1),q=(1,-cosB),则p与q的夹角是(  )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定[答案] A[解析] 解法1:p·q=sinA-cosB,若p与q夹角为直角,则p·q=0,∴sinA=cosB,∵A、B∈,∴A=B=,则C=,与条件矛盾;若p与q夹角为钝角,则p·q<0,∴sinA<cosB=sin,∵sinx在上为增函数,∴A<-B,∴A+B<,∴C>这与条件矛盾,∴p与q的夹角为锐角.解法2:由题意可知A+B>⇒A>-B⇒sinA>sin(-B)=cosB⇒p·q=sinA-cosB>0,又显然p、q不同向,故p与q夹角为锐角.3.(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(  )A.B.C.D.[答案] C15\n[解析] 如图,+==2,∵++2=0,∴+=0,∴P为AD的中点,∴所求概率为P==.4.(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则P点坐标为(  )A.(-3,0)B.(3,0)C.(2,0)D.(4,0)[答案] B[解析] 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,∴当x=3时·有最小值,∴P(3,0).(理)(2011·河南质量调研)直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则·(O为坐标原点)等于(  )A.-7B.-14C.7D.14[答案] A[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于=1,∴cosθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-,∴·15\n=3×3cos2θ=-7,选A.5.(2012·吉林实验中学模拟)如图,正方形ABCD中,点E、F分别是DC、BC的中点,那么=(  )A.+B.--C.-+D.-[答案] D[解析] =-=(+)-(+)=+--=-.6.(2012·浙江宁波市期末)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A=120°,·=-1,则||的最小值是(  )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵∠A=120°,·=-1,∴||·||·cos120°=-1,∴||·||=2,15\n∴||2+||2≥2||·||=4,∵D为BC边的中点,∴=(+),∴||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-2)≥(4-2)=,∴||≥.7.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为________.[答案] -[解析] 设PC=x,则0≤x≤3.(+)·=2·=-2x×(3-x)=2x2-6x=2(x-)2-,所以(+)·的最小值为-.8.(2012·会昌月考)已知向量a与b的夹角为,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a,则实数λ=________.[答案] 1[解析] ∵〈a,b〉=,|a|=1,|b|=4,∴a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉=1×4×cos=-2,∵(2a+λb)⊥a,∴a·(2a+λb)=2|a|2+λa·b=2-2λ=0,∴λ=1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则·=________.15\n[答案] -[解析] ·=(+)·(-)=||2-||2-·=1-2-×1×2·cos60°=-.10.(文)(2012·豫南九校联考)已知向量=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),=(cosx,-1),f(x)=·.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值.[解析] (1)∵=(2cosx+1,cos2x-sinx+1),=(cosx,-1),∴f(x)=·=(2cosx+1)cosx-(cos2x-sinx+1)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1=cosx+sinx=sin(x+),∴函数f(x)最小正周期T=2π.(2)∵x∈[0,],∴x+∈[,],∴当x+=,即x=时,f(x)=sin(x+)取到最大值.(理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c-(+1)b=0;③B=45°,试从中选择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC的面积.15\n(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分).[解析] (1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,所以cos(B+C)=-,因为A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,A=30°.(2)方案一:选择①②,可确定△ABC,因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理得,12=b2+(b)2-2b·b·解得b=,所以c=,所以S△ABC=bcsinA=···=,方案二:选择①③,可确定△ABC,因为A=30°,a=1,B=45°,C=105°,又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=,由正弦定理c===,所以S△ABC=acsinB=·1··=.(注意:选择②③不能确定三角形)能力拓展提升11.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=3,AC=5,BC=,则·等于(  )15\nA.-8B.-1C.1D.8[答案] D[解析] 取BC的中点M,连接AM、OM,·=(+)·=·=·(-)==8,故选D.(理)(2011·福建理,8)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是(  )A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2][答案] C[解析] ·=(-1,1)·(x,y)=y-x,画出线性约束条件15\n表示的平面区域如图所示.可以看出当z=y-x过点A(1,1)时有最小值0,过点C(0,2)时有最大值2,则·的取值范围是[0,2],故选C.12.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,·的值等于(  )A.0    B.2    C.4    D.-2[答案] D[解析] 由题意得c==,又S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=2××F1F2·h (h为F1F2边上的高),所以当h=b=1时,S四边形PF1QF2取最大值,此时∠F1PF2=120°.所以·=||·||·cos120°=2×2×(-)=-2.13.(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy中,i、j分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若直角三角形ABC中,=i+j,=2i+mj,则实数m=________.[答案] 0或-2[解析] ∵△ABC为直角三角形,∴当A为直角时,·=(i+j)·(2i+mj)=2+m=0⇒m=-2;15\n当B为直角时,·=·(-)=(i+j)·[i+(m-1)j]=1+m-1=0⇒m=0;当C为直角时,·=·(-)=(2i+mj)·[i+(m-1)j]=2+m2-m=0,此方程无解.∴实数m=0或m=-2.14.(2012·苏北四市统考)已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,且满足·≤0,·≥0,则·的最小值为________.[答案] 3[解析] =(x-1,y),=(1,0),=(x,y-2),=(0,2),∵∴∴∴·=(x,y)·(-1,2)=-x+2y≥-1+2×2=3,∴·的最小值为3.15.(文)已知向量a=,-,b=(2,cos2x),其中x∈.(1)试判断向量a与b能否平行,并说明理由?(2)求函数f(x)=a·b的最小值.[解析] (1)若a∥b,则有·cos2x+·2=0.∵x∈,∴cos2x=-2,这与|cos2x|≤1矛盾,∴a与b不能平行.(2)∵f(x)=a·b=-===2sinx+,∵x∈,∴sinx∈(0,1],∴f(x)=2sinx+≥2=2.当2sinx=,即sinx=时取等号,故函数f(x)的最小值为2.15\n(理)已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足·=0,=-,当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程.[解析] 设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b>0),则=(a,3),=(x-a,y),=(-x,b-y),由·=0,得a(x-a)+3y=0.①由=-得,(x-a,y)=-(-x,b-y)=(x,(y-b)),∴∴把a=-代入①,得-(x+)+3y=0,整理得y=x2(x≠0).16.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.[证明] ·=(+)·(+)=-||2+·+·+·=-||2+||||cos90°+||2cos45°+||2cos45°=-||215\n+||2=0,∴⊥,即AD⊥CE.1.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为(  )A.(0,)B.(,π]C.(,π]D.(,][答案] C[解析] 设a与b的夹角为θ,f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,即f′(x)=x2+|a|x+a·b=0有两个不同的实数解,故Δ=|a|2-4a·b>0⇒cosθ<,又θ∈[0,π],所以θ∈(,π],故选C.2.设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,||+||+||=3,则该抛物线的方程是(  )A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x[答案] A[解析] ∵F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由++=0得,(x1-)+(x2-)+(x3-)=0,∴x1+x2+x3=p.又由抛物线定义知,15\n||+||+||=(x1+)+(x2+)+(x3+)=3p=3,∴p=1,因此,所求抛物线的方程为y2=2x,故选A.3.不共线向量、,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点(x,y)的轨迹方程是(  )A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0[答案] A[解析] 由=λ得,-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,∴消去λ得x+y=2,故选A.4.已知O为原点,点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0,a),其中常数a>0,点P在线段AB上,且有=t(0≤t≤1),则·的最大值为(  )A.aB.2a  C.3a  D.a2[答案] D[解析] ∵=t,∴=+=+t(-)=(1-t)+t=(a-at,at),∴·=a2(1-t),∵0≤t≤1,∴·≤a2.5.已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为、x、y,则+的最小值是________.[答案] 1815\n[解析] ∵·=2,∴bccosA=2,∵∠BAC=30°,∴bc=4,∴S△ABC=1,∴x+y=,+=+=(+)+10≥18.等号成立时,∴x=,y=,∴在时,+取得最小值18.6.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若=(+),则双曲线的离心率为________.[答案] [解析] ∵PF与圆x2+y2=相切,∴OE⊥PF,且OE=,∵=(+),∴E为PF的中点,又O为FF2的中点,∴|PF2|=2|OE|=a,由双曲线定义知,|PF|=|PF2|+2a=3a,在Rt△PFF2中,|PF|2+|PF2|2=|FF2|2,∴a2+9a2=4c2,∴e2=,∵e>1,∴e=.7.(2012·广东惠州二调)已知向量a=(sinθ,cosθ)与b=(,1),其中θ∈(0,).(1)若a∥b,求sinθ和cosθ的值;(2)若f(θ)=(a+b)2,求f(θ)的值域.[解析] (1)∵a∥b,∴sinθ·1-cosθ=0,求得tanθ=.又∵θ∈(0,),∴θ=.∴sinθ=,cosθ=.(注:本问也可以结合sin2θ+cos2θ=1或化为2sin(θ-)=0来求解)(2)f(θ)=(sinθ+)2+(cosθ+1)215\n=2sinθ+2cosθ+5=4sin(θ+)+5,又∵θ∈(0,),θ+∈(,),<sin(θ+)≤1,∴7<f(θ)≤9,即函数f(θ)的值域为(7,9].15

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发布时间:2022-08-25 21:39:33 页数:15
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文章作者:U-336598

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