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高考数学总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 新人教B版
高考数学总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 新人教B版
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5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·宁波十校联考)设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( )A.+=0 B.+=0C.+=0D.++=0[答案] B[解析] 如图,根据向量加法的几何意义,+=2⇔P是AC的中点,故+=0.(理)已知△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是( )A.B.C.-3D.0[答案] D[解析] =-,=-.∴=--=--.12\n∴=-,∴=-.又=r+s,∴r=,s=-,∴r+s=0.2.(2012·四川理,7)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|[答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念.因表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,要使=成立,则必须a与b同向共线,所以由a=2b可得出=.[点评] a=-b时,a与b方向相反;a∥b时,a与b方向相同或相反.因此A、B、D都不能推出=.3.已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b与b共线,则实数n的值是( )A.3+2B.9C.6D.3-2[答案] B[解析] 2a-b=(-1,6-n),∵2a-b与b共线,∴-1×n-(6-n)×3=0,∴n=9.4.设平面内有四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为( )A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形[答案] D[解析] 解法一:设AC的中点为G,则+=b+d=a+c=+=2,∴G为BD12\n的中点,∴四边形ABCD的两对角线互相平分,∴四边形ABCD为平行四边形.解法二:=-=b-a,=-=d-c=-(b-a)=-,∴AB綊CD,∴四边形ABCD为平行四边形.5.设=e1,=e2,若e1与e2不共线,且点P在线段AB上,|AP||PB|=4,如图所示,则=( )A.e1-e2B.e1+e2C.e1+e2D.e1-e2[答案] C[解析] =4,∴=+=5,=+=-=-(-)=+=e1+e2.6.P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )A.2B.312\nC.D.6[答案] B[解析] 由=(+),得3=+,∴++=0,∴P是△ABC的重心.∴△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.7.(2013·福建省惠安三中模拟)已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若a∥b,则实数x的值等于________.[答案] [解析] ∵a∥b,∴3(2x+1)-4(2-x)=0,∴x=.8.已知点A(2,3),C(0,1),且=-2,则点B的坐标为________.[答案] (-2,-1)[解析] 设点B的坐标为(x,y),则有=(x-2,y-3),=(-x,1-y),因为=-2,所以解得x=-2,y=-1.9.(2012·东北三省四市联考)在△ABC中,AB=2AC=2,·=-1,若=x1+x2(O是△ABC的外心),则x1+x2的值为________.[答案] [解析] O为△ABC的外心,=x1+x2,·=x1·+x2·,由向量数量积的几何意义,·=||2=2,∴4x1-x2=2,①又·=x1·+x2·,∴-x1+x2=,②联立①②,解得x1=,x2=,∴x1+x2=.10.设两个非零向量a与b不共线,12\n(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.[解析] (1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.∴、共线,又它们有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.能力拓展提升11.(2012·珠海调研)已知△ABC及其平面内点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m等于( )A.2 B.3 C.4 D.5[答案] B[解析] 解法1:由已知条件+=-.如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点.延长BM交AC于E,延长CM交AB于F,则E、F分别为AC、AB的中点,即M为△ABC的重心.==(+),即+=3,则m=3.12\n解法2:∵+=-+-=+-2=m,∴+=(m-2),∵++=0,∴(m-2)=,∴m=3.12.如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为( )A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)[答案] C[解析] 解法1:令=λ,由题可知:=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ;同理,令=μ,则=+=+μ=+μ(-)=μ+(1-μ)·,平面向量基本定理知对应系数相等,可得解得所以=+,故选C.解法2:设=λ,∵E、D分别为AC、AB的中点,∴=+=-a+b,=+=(b-a)+λ(a-b)=a+(1-λ)b,∵与共线,a、b不共线,12\n∴=,∴λ=,∴=+=b+=b+=a+b,故x=,y=.13.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=________.[答案] [解析] 由图知=+,①=+,②且+2=0.①+②×2得:3=+2,∴=+,∴λ=.14.(2012·吉林省延吉市质检)已知:||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m,n∈R+),则=________.[答案] 3[解析] 设m=,n=,则=+,12\n∵∠AOC=30°,∴||·cos30°=||=m||=m,||·sin30°=||=n||=n,两式相除得:===,∴=3.15.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).(1)若A、B、C三点共线,求实数m的值;(2)若∠ABC为锐角,求实数m的取值范围.[解析] (1)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).∴=(3,1),=(2-m,1-m),∵A、B、C三点共线,∴与共线,∴3(1-m)=2-m,∴m=.(2)由题设知=(-3,-1),=(-1-m,-m)∵∠ABC为锐角,∴·=3+3m+m>0⇒m>-又由(1)可知,当m=时,∠ABC=0°故m∈∪.12\n16.(文)已知a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2),(1)当x、y为何值时,a与b共线?(2)是否存在实数x、y,使得a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出xy的值;若不存在,说明理由.[解析] (1)∵a与b共线,∴存在非零实数λ使得a=λb,∴⇒(2)由a⊥b⇒(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0⇒x-2y+3=0.①由|a|=|b|⇒(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.②由①②解得或∴xy=-1或xy=.(理)已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5),向量=+t.(1)t为何值时,点P在x轴上?(2)t为何值时,点P在第二象限?(3)四边形ABPO能否为平行四边形?若能,求出t的值;若不能,说明理由.(4)求点P的轨迹方程.[解析] ∵=+t=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),∴P(1+3t,2+3t).(1)∵P在x轴上,∴2+3t=0即t=-.(2)由题意得∴-<t<-.(3)∵=(3,3),=(1+3t,2+3t).若四边形ABPO为平行四边形,则=,∴而上述方程组无解,∴四边形ABPO不可能为平行四边形.(4)∵=(1+3t,2+3t),设=(x,y),则∴x-y+1=0为所求点P的轨迹方程.12\n1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共线,则四边形ABCD为( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形[答案] A[解析] 由已知得=++=-8a-2b,故=2,由共线向量知识知AD∥BC,且|AD|=2|BC|,故四边形ABCD为梯形,所以选A.2.已知|a|=3,|b|=1,且a与b同向共线,则a·b的值是( )A.-3 B.0 C.3 D.-3或3[答案] C[解析] ∵a与b同向共线,∴a·b=|a|·|b|cos0=3,选C.3.已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.垂心C.内心D.重心[答案] D[解析] 设+=,则可知四边形BACD是平行四边形,而=λ表明A、P、D三点共线.又D在边BC的中线所在直线上,于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心.4.(2012·洛阳部分重点中学检测)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则的值为( )12\nA.3 B. C.2 D.[分析] 由M、N、G三点共线知,存在实数λ、μ使=λ+μ,结合条件=x,=y,可将用,表示,又G为△ABC的重心,用,表示的表示式唯一,可求得x,y的关系式.[答案] B[解析] 法1:由点G是△ABC的重心,知++=0,得-+(-)+(-)=0,则=(+).又M、N、G三点共线(A不在直线MN上),于是存在λ,μ∈R,使得=λ+μ(且λ+μ=1),则=λx+μy=(+),所以于是得+=3,所以==.法2:特殊化法,利用等边三角形,过重心作平行于底边BC的直线,易得=.5.(2012·豫南四校调研考试)已知△ABD是等边三角形,且+=,||=,那么四边形ABCD的面积为( )A.B.C.3D.[答案] B12\n[解析] 如图,由条件知,=-=-,∴2=(-)2,∴3=2+2-·,∵||=||,∴||2-||·||cos60°=3,解之得||=2.又=-=,∴||=||=1,∴||2+||2=||2,∴BC⊥CD.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×=,故选B.6.非零向量a=(sinθ,2),b=(cosθ,1),若a与b共线,则tan=________.[答案] [解析] ∵非零向量a、b共线,∴存在实数λ,使a=λb,即(sinθ,2)=λ(cosθ,1),∴λ=2,sinθ=2cosθ,∴tanθ=2,∴tan(θ-)==.12
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:39:34
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