【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 简单的三角恒等变换（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第5节简单的三角恒等变换新人教A版一、选择题1．(文)设<θ<π，且|cosθ|＝，那么sin的值为(　　)A．　　　　　　　B．－C．－　D．[答案]　D[解析]　∵<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.∵<<，∴sin>0，又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，∴sin＝.(理)(2022·河北唐山检测)已知x∈(－，0)，cos2x＝a，则sinx＝(　　)A．　　　　　　B．－C．　D．－[答案]　B[解析]　a＝cos2x＝1－2sin2x，∵x∈(－，0)，∴sinx<0，∴sinx＝－.2．(2022·山东淄博一模)已知tanα＝2，那么sin2α的值是(　　)A．－　B．C．－　D．[答案]　B[解析]　sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，选B．-11-\n3．(文)(2022·浙江建人高复月考)tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于(　　)A．　B．C．－　D．－[答案]　D[解析]　因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.(理)(2022·兰州名校检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A[解析]　由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.4．(文)若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cos2x－sin2y等于(　　)A．－　B．C．－　D．[答案]　B[解析]　∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B．(理)(2022·福建石狮模拟)函数y＝cos2(x＋)的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为(　　)A．π　B．-11-\nC．　D．[答案]　D[分析]　先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求出a的最小值．[解析]　y＝cos2(x＋)＝＝＝－sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y＝－sin[2(x－a)]＝－sin(2x－2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有－2a＝＋kπ，k∈Z，即a＝－－，k∈Z，所以当k＝－1时，a有最小值为，故选D．5．已知α∈，cosα＝，则tan2α等于(　　)A．－　B．C．－　D．[答案]　A[解析]　∵－<α<0，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴tan2α＝＝－，故选A．6．(2022·东北三省四市联考)已知α，β∈(0，)，＝，且2sinβ＝sin(α＋β)，则β的值为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　A-11-\n[解析]　由＝，得tanα＝.∵α∈(0，)，∴α＝，∴2sinβ＝sin(＋β)＝cosβ＋sinβ，∴tanβ＝，∴β＝.二、填空题7．已知sinα·cosα<0，sinαtanα>0，化简cos·＋sin·＝________.[答案]　±sin[解析]　∵sinα·cosα<0，∴α为第二或第四象限角，又∵sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，∴为第二或四象限角．∴原式＝cos·＋sin·＝∴原式＝±sin.8．(文)已知sinα＝，cosβ＝，其中α、β∈(0，)，则α＋β＝________.[答案]　[解析]　∵α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(理)(2022·山东青岛阶段测试)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α-11-\n等于________．[答案]　－[解析]　∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.9．(2022·辽宁铁岭一中期中)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．[答案]　[解析]　本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<，∴<α＋<，又cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝＝，∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝，cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1＝2×()2－1＝，∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝.[点评]　已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．-11-\n(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．[解析]　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos2α得，tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.(理)(2022·四川理，16)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．[分析]　第(1)问，通过整体思想，将3x＋看作一个整体，借助y＝sinx的单调递增区间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要注意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f()，然后利用和角公式展开整理，得到关于sinα＋cosα与cosα－sinα的方程，再对sinα＋cosα与0的关系进行讨论，得到cosα－sinα的值．[解析]　(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.-11-\n所以，函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－sinαsin)(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.一、选择题11．(2022·东北三省四市联考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°，复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为(　　)A．＋i　B．＋iC．－i　D．－i[答案]　A[解析]　由已知条件可得z1z2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i，故应选A．12．(2022·樟树中学月考)已知tan＝3，则cosα＝(　　)A．　B．－C．　D．－[答案]　B-11-\n[解析]　cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－，故选B．13．(2022·沈阳、大连联考)已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且B＝，则cosA－cosC的值为(　　)A．±　B．C．　D．±[答案]　D[解析]　由三边成等差数列得2b＝a＋c，据正弦定理将边化角得2sinB＝＝sinA＋sinC　①，令cosA－cosC＝x　②，将两式两边平方并相加可得2＋2(sinAsinC－cosAcosC)＝2－2cos(A＋C)＝2＋x2，由已知A＋C＝得＝x2，解得x＝±，故选D．二、填空题14．(文)(2022·河南六市联考)的值为________．[答案]　[解析]　原式＝＝＝.(理)(2022·江苏灌云高级中学期中)求值：＝________.[答案]　[解析]　由题意得＝＝＝.15．(2022·江苏苏、锡、常、镇调研)已知钝角α满足cosα＝－，则tan(＋-11-\n)的值为________．[答案]　－3[解析]　∵cosα＝－，α为钝角，∴sinα＝，∴tanα＝＝＝－，由二倍角公式得tanα＝＝－，且tan>0，解得tan＝2，故tan(＋)＝＝－3.16．(2022·湖北武汉联考)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α∈(0，)，α＋β∈(，π)，则cosβ的值为________．[答案]　[解析]　∵α∈(0，)，α＋β∈(，π)，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝＝＝，sin(α＋β)＝＝＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋×＝.三、解答题17．(2022·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f(α)＝.(1)用sinα表示f(α)；(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．[解析]　(1)f(α)＝＝.(2)∵0<α<π，∴sinα>0.∴f(α)＝sinα＋≥2＝1，-11-\n又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1，此时sinα＝，即sinα＝，∴α＝或.又∵0<β<π，0<sinβ≤1，f(α)≥1，所以f(α)＝sinβ＝1，所以β＝.综上可知α＝或，β＝.18．(文)(2022·天津十二区县模拟)已知f(x)＝2cos2x＋2sin(π－x)cos(－x)＋a－(x∈R，a∈R，a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若当x∈[，]时，g(x)的最小值为2，求a的值及函数y＝g(x)的解析式．[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin(2x＋)＋a，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(2)f(x)＝2sin(2x＋)＋a向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝2sinx＋a，当x∈[，]时，g(x)∈[a＋1，a＋]，g(x)取最小值2，∴a＋1＝2，a＝1，所以g(x)＝2sinx＋1.(理)(2022·山东实验中学三诊)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；-11-\n(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式；(3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝所围成图形的面积．[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋＋a＝sin(2x＋)＋a＋，∴最小正周期T＝π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin(2x＋)≤1.当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝，∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋)＋.(3)由题意知g(x)＝sinx，所求面积为sinxdx＝－cosx|＝1.-11-