【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第3节 三角恒等变形（含解析）北师大版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第3节三角恒等变形北师大版一、选择题1．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝(　　)A．－1　B．－C．　D．1[答案]　A[解析]　将sinα－cosα＝两端同时平方得，(sinα－cosα)2＝2，整理得1－2sinαcosα＝2，于是sin2α＝2sinαcosα＝－1，故选A．2．如果cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　)A．－　B．C．－a　D．a[答案]　C[解析]　sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－A．3．已知tanα＝，则等于(　　)A．3　B．6C．12　D．[答案]　A[解析]　＝＝2＋2tanα＝3.故选A．4．(文)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)A．－　B．C．－　D．-9-\n[答案]　A[解析]　由于α是第三象限角且cosα＝－，∴sinα＝－，∴sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－－)＝－.(理)若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝(　　)A．－　B．－C．　D．[答案]　B[解析]　由α∈(－，)，sinα＝可得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋)＝－(cosα－sinα)＝－，故选B．5．4cos50°－tan40°＝(　　)A．　B．C．　D．2－1[答案]　C[解析]　本题考查非特殊角三角函数的求值问题．4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝＝.6．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是(　　)-9-\nA．1　　　　　　　　　B．C．　D．1＋[答案]　C[解析]　f(x)＝＋sin2x＝sin＋，又x∈，∴2x－∈，f(x)max＝1＋＝，故选C．二、填空题7．(2022·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.[答案]　[解析]　本题考查向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.又0<θ<，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.8．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈，则β＝________.[答案]　[解析]　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，∵0<β<，∴β＝.-9-\n9．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．[答案]　π[解析]　f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＝sin(2x－)－(1－cos2x)＝sin(2x－)＋cos2x－＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，所以T＝＝＝π.三、解答题10．(文)(2022·江西高考)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f()＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f()＝－，α∈(，π)，求sin(α＋)的值．[解析]　(1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数∴f(0)＝0，即(a＋2)·cosθ＝0①又∵f()＝0，∴(a＋2·)·cos(＋θ)＝0，即－(a＋1)sinθ＝0②.∵θ∈(0，π)，∴sinθ≠0由②可知，a＝－1，代入①得cosθ＝0.∴θ＝.∴a＝－1，θ＝.(2)∵a＝－1，θ＝，-9-\n∴f(x)＝(－1＋2cos2x)cos(2x＋)＝(－1＋2cos2x)(－sin2x)＝－cos2x·sin2x＝－sin4x.∵f()＝－，∴－·sin(4·)＝－，∴sinα＝.∵α∈(，π)，∴cosα<0，∴cosα＝－，∴sin(α＋)＝sinα·cos＋cosα·sin＝·－·＝.(理)(2022·广东高考)已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．[解析]　(1)f()＝Asin(＋)＝，∴A×＝，∴A＝.(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，∴[(sinθ＋cosθ)＋(－sinθ＋cosθ)]＝.∴cosθ＝，∴cosθ＝，又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，∴f(π－θ)＝sin(π－θ)＝sinθ＝.-9-\n一、选择题1．(文)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)A．　B．C．　D．[答案]　B[解析]　tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，∴tan(A＋B)＝＝，即＝.解得tanAtanB＝，故选B．(理)若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于(　　)A．－　B．－C．　D．[答案]　B[解析]　∵sin＝－，－β∈∴－β＝－①∵cos＝，α，β∈，∴α－∈，∴α－＝－或②由①②有或(舍去)，∴cos(α＋β)＝cos＝－.2．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)＝(　　)-9-\nA．－　B．－C．　D．[答案]　B[解析]　a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，∴sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.故选B．二、填空题3．(2022·全国大纲卷)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．[答案]　[解析]　本题考查三角函数的性质及三角恒变换．y＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，当sinx＝时，ymax＝.4．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.[答案]　π[解析]　解法1：f(x)＝sinsin＝－＝－cos＋.∴T＝π.解法2：y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴T＝π.三、解答题5．(文)已知函数f(x)＝cos(x－)，x∈R.-9-\n(1)求f()的值；(2)若cosθ＝，θ∈(，2π)，求f(θ－)．[解析]　(1)f()＝cos(－)＝cos＝1.(2)∵cosθ＝，θ∈(，2π)，∴sinθ＝－＝－.∴f(θ－)＝cos(θ－)＝(cosθcos＋sinθsin)＝－.(理)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．[解析]　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.-9-\n6．已知π<α<π，tanα＋＝－.求的值．[解析]　∵tanα＋＝－，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－.又∵<α<π，∴tanα＝－.∴＝＝＝＝＝－.-9-