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【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)北师大版

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阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2022·辽宁五校联考)已知cos(+α)=,且α∈(,),则tanα=(  )A.         B.C.- D.±[答案] B[解析] 因为cos(+α)=,所以sinα=-,显然α在第三象限,所以cosα=-,故tanα=.2.(2022·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角x的最小正值为(  )A. B.C. D.[答案] B[解析] ∵sin=,cos=-,∴角x的终边经过点(,-),tanx=-,∴x=2kπ+,k∈Z.∴角x的最小正值为.3.(文)已知tan=2,则的值为(  )A. B.7C.- D.-7[答案] A[解析] 由已知得tanα==-,-12-\n故==.(理)已知函数f(x)=sinx-cosx且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则sin2x=(  )A. B.-C. D.-[答案] C[解析] 由f(x)=sinx-cosx且f′(x)=2f(x)得cosx+sinx=2sinx-2cosx,所以tanx=3,sin2x====,故选C.4.下列函数中,其中最小正周期为π,且图像关于直线x=对称的是(  )A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)C.y=sin(2x+) D.y=sin(+)[答案] B[解析] ∵T=π,∴ω=2,排除D,把x=代入A、B、C只有B中y取得最值,故选B.5.(文)(2022·黄山模拟)为了得到函数y=sin(2x-)的图像,只需把函数y=sin(2x+)的图像(  )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位[答案] B[解析] y=sin(2x+)=sin[2(x+)],y=sin(2x-)=sin[2(x-)],∴只需将y=sin(2x+)向右平移+=个长度单位.(理)(2022·黄山模拟)将函数y=sin2x的图像向右平移个单位,再向上平移1个单位,所得函数图像对应的解析式为(  )A.y=sin(2x-)+1 B.y=2cos2x-12-\nC.y=2sin2x D.y=-cos2x[答案] C[解析] 函数y=sin2x的图像向右平移个单位得到y=sin2(x-)=sin(2x-)=-cos2x,再向上平移1个单位,所得函数图像对应的解析式为y=-cos2x+1=-(1-2sin2x)+1=2sin2x,选C.6.-=(  )A.4 B.2C.-2 D.-4[答案] D[解析] -=-=====-4,选D.7.(2022·合肥调研)在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是(  )A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形[答案] D[解析] sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=,故三角形为直角三角形.8.(2022·河南八校联考)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图像关于原点对称,则m的最小值是(  )A. B.C. D.[答案] D[解析] y=cosx+sinx=2sin(x+),向左平移m个单位得到y=2sin(x+m+),此函数为奇函数,∴m+=kπ,k∈Z,∵m>0,∴m的最小值为.9.(2022·济南一模)△ABC中,∠A=30°,AB=,BC=1,则△ABC的面积等于(  )A. B.-12-\nC.或 D.或[答案] D[解析] 由余弦定理cosA=,代入各值整理可得AC2-3AC+2=0,解得AC=1或AC=2三角形面积S=AB·AC·sinA所以面积为或.10.(2022·洛阳统考)设函数f(x)=|cosx|+|sinx|,下列四个结论正确的是(  )①f(x)是奇函数;②f(x)的图像关于直线x=对称;③当x∈[0,2π]时,f(x)∈[1,];④当x∈[0,]时,f(x)单调递增.A.①③ B.②④C.③④ D.②③[答案] D[解析] 对于①,注意到f(-x)=f(x),因此函数f(x)是偶函数,①不正确;对于②,注意到f(-x)=|cos(-x)|+|sin(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x),因此函数f(x)的图像关于直线x=对称,②正确;对于③④,注意到f(x+)=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sinx|+|cosx|=f(x),因此函数f(x)是以为周期的函数,当x∈[0,]时,f(x)=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=sin(x+)的值域是[1,],故当x∈[0,2π]时,f(x)∈[1,],又f()=>1=f(),因此f(x)在[0,]上不是增函数,故③正确,④不正确.综上所述,其中正确的结论是②③,选D.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.已知α为第二象限角,则cosα+sinα=________.[答案] 0[解析] 原式=cosα+sinα=cosα+sinα,因为α是第二象限,所以sinα>0,cosα<0,所以cosx+sinα=-1+1=0,即原式等于0.12.(2022·新课标Ⅱ)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.[答案] 1[解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式,三角函数的最值的求法.-12-\n∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ=sinx≤1.∴最大值为1.13.(2022·九江模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈[-,α].当α=时,f(x)的值域是________;若f(x)的值域是[-,1],则α的取值范围是________.[答案] [-,1] [,][解析] 若-≤x≤,则-≤2x≤,-≤2x+≤,此时-≤sin(2x+)≤1,即f(x)的值域是[-,1].若-≤x≤α,则-≤2x≤2α,-≤2x+≤2α+.因为当2x+=-或2x+=时,sin(2x+)=-,所以要使f(x)的值域是[-,1],则有≤2α+≤,即≤2α≤π,所以≤α≤,即α的取值范围是[,].14.△ABC中,A满足条件sinA+cosA=1,AB=2cm,BC=2cm,则A=________,△ABC的面积等于________cm2.[答案]  [解析] 由sinA+cosA=1得2sin(A+)=1,∴A+=,即A=π,由=得sinC===,所以C=,则B=.S△ABC=AB×BCsinB=(cm2).15.把函数y=sin2x的图像沿x轴向左平移个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)图像,对于函数y=f(x)有以下四个判断:-12-\n①该函数的解析式为y=2sin(2x+);②该函数图像关于点(,0)对称;③该函数在[0,]上是增函数;④函数y=f(x)+a在[0,]上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是________.[答案] ②④[解析] 将函数向左平移得到y=sin2(x+)=sin(2x+),然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin(2x+),即y=f(x)=2sin(2x+),所以①不正确.y=f()=2sin(2×+)=2sinπ=0,所以函数图像关于点(,0)对称,所以②正确.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数的单调增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,当k=0时,增区间为[-,],所以③不正确.y=f(x)+a=2sin(2x+)+a,当0≤x≤时,≤2x+≤,所以当2x+=时,函数值最小为y=2sin+a=-+a=,所以a=2,所以④正确.所以正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)(文)已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π),求:(1)+的值;(2)m的值;(3)方程的两根及此时θ的值.[解析] (1)原式=+=+==sinθ+cosθ.由条件知sinθ+cosθ=,故+=.(2)由sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2,得1+m=()2,即m=.(3)由得或-12-\n又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.(理)已知函数f(x)=-cos2x-sinx+1.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(α)=,求cos2α的值.[解析] (1)因为f(x)=-cos2x-sinx+1=sin2x-sinx=(sinx-)2-,又sinx∈[-1,1],所以当sinx=时,函数f(x)的最小值为-.(2)由(1)得(sinα-)2-=,所以(sinα-)2=.于是sinθ=(舍)或sinα=-.故cos2α=1-2sin2α=1-2(-)2=.17.(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)=3sin2x+2sinxcosx+cos2x-2.(1)求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.[解析] (1)依题意f(x)=2sin2x+sin2x-1=sin2x-cos2x=sin(2x-).则f()=sin(2×-)=1.(2)f(x)的最小正周期T==π.当2kπ-≤2x-≤2kπ+时,即kπ-≤x≤kπ+时,f(x)为增函数.则函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.(理)已知向量a=(2sinx,cosx),b=(sinx,2sinx),函数f(x)=a·B.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若不等式f(x)≥m对x∈[0,]都成立,求实数m的最大值.[解析] (1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+2sinxcosx-12-\n=sin2x-cos2x+1=2sin(2x-)+1由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z).得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴f(x)的单调增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z)(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.∴-≤sin(2x-)≤1,∴f(x)=2sin(2x-)+1∈[0,3],∴m≤0,m的最大值为0.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.[解析] (1)由已知,根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bC.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,A=120°.(2)由a2=b2+c2+bc,得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又sinB+sinC=1,故sinB=sinC=.因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C.所以△ABC是等腰的钝角三角形.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).(1)求函数f(x)的解析式及x0的值;(2)若锐角θ满足cosθ=,求f(4θ)的值.[解析] (1)∵由题意可得A=2,=2π,即T=4π,-12-\n∴=4π,∴ω=.∴f(x)=2sin(x+φ).由图像经过点(0,1)得,f(0)=2sinφ=1,又|φ|<,∴φ=.故f(x)=2sin(x+).又f(x0)=2sin(x0+)=2,∴x0+=2kπ+(k∈Z),∴x0=4kπ+(k∈Z),根据图像可得x0是最小的正数,∴x0=.(2)由(1)知,f(4θ)=2sin(2θ+)=sin2θ+cos2θ.∵θ∈(0,),cosθ=,∴sinθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=-,sin2θ=2sinθcosθ=,∴f(4θ)=×-=-=.20.(本小题满分13分)(文)(2022·重庆高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cosC的值;(2)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.[解析] (1)∵a+b+c=8,a=2,b=,∴c=8-2-=.由余弦定理,得cosC===-.(2)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC,可得-12-\nsinA·+sinB·=2sinC,化简得:sinA+sinB+sin(A+B)=4sinC,即sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可得a+b=3C.又a+b+c=8,∴a+b=6 ①又面积S=absinC=sinC,∴ab=9 ②解①②得a=3,b=3.(理)(2022·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.[解析] (1)由已知cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB得.(1+cos2A)-(1+cos2B)=sin2A-sin2B,∴cos2A-sin2A=cos2B-sin2B,即sin(-+2A)=sin(-+2B),∴-+2A=-+2B或-+2A-+2B=π,即A=B或A+B=,∵a≠b,∴A+B=,∴∠C=.(2)由(1)知sinC=,cosC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得:=,又∵c=,sinA=.∴a=.∴S△ABC=acsinB=.21.(本小题满分14分)(文)已知函数g(x)=-sinxcosx-sin2x,将其图像向左移个单位,并向上移个单位,得到函数f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤)的图像.(1)求实数a,b,φ的值;-12-\n(2)设函数φ(x)=g(x)-f(x),x∈[0,],求函数φ(x)的单调递增区间和最值.[解析] (1)依题意化简得g(x)=sin(-2x),平移g(x)得f(x)=sin(-2(x+))+=sin(-2x-)+=cos(2x+)+=cos2(x+)∴a=1,b=0,φ=.(2)φ(x)=g(x)-f(x)=sin(2x+)-cos(2x+)-=sin(2x+)-,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ≤x≤+kπ,(k∈Z),因为x∈[0,],所以当k=0时,在[0,]上单调增,∴φ(x)的单调增区间为[0,],值域为[-,1-],故φ(x)的最小值为-,最大值为1-.(理)已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-.(1)求函数f(x)的最小正周期T;(2)若△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对角为B,试求cosB的取值范围,并确定此时f(B)的最大值.[解析] (1)f(x)=2cosx·sin(x+)-=2cosx(sinxcos+cosxsin)-=2cosx(sinx+cosx)-=sinxcosx+cos2x-=sin2x+·-=sin2x+cos2x=sin(2x+).-12-\n∴T===π.(2)由余弦定理cosB=及b2=ac得,cosB==-≥-=,∴≤cosB<1,而0<B<π,∴0<B≤.函数f(B)=sin(2B+),∵<2B+≤π,∴当2B+=,即B=时,f(B)max=1.-12-

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发布时间:2022-08-26 00:13:21 页数:12
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文章作者:U-336598

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