【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、解三角形（含解析）新人教A版

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·娄底市名校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)A．－　　　　　　　B．－C．　D．[答案]　B[解析]　解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.2．(2022·山东滕州一中月考)化简的结果是(　　)A．－1　B．1C．tanα　D．－tanα[答案]　C[解析]　原式＝＝tanα.3．(文)(2022·河南省实验中学期中)函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是(　　)A．x＝－　B．x＝－C．x＝　D．x＝[答案]　D[解析]　由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)，∴选D．(理)(2022·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)A．y＝sin(2x＋)　B．y＝sin(2x＋)-13-\nC．y＝sin(2x－)　D．y＝sin(2x－)[答案]　D[解析]　把x＝代入解析式，函数应取到最值，经检验D符合．4．(文)(2022·河南八校联考)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是(　　)A．　B．C．　D．[答案]　D[解析]　y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋)，此函数为奇函数，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为.(理)(2022·杭州七校联考)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝cos2x　B．y＝2cos2xC．y＝1＋sin(2x＋)　D．y＝2sin2x[答案]　B[解析]　y＝sin2xy＝sin2(x＋)y＝sin(2x＋)＋1，∵y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1＝2cos2x，∴选B．5．(2022·河北冀州中学期中)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)(　　)A．1　　　B．4　　　C．π　　　D．1或4[答案]　D[解析]　设扇形半径为R，圆心角为α，则由(2)得Rα＝，代入(1)得2R＋＝6，解之得R＝1或2，当R＝1时，α＝4，当R＝2时，α＝1.∴选D．6．(2022·湖北省八校联考)已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为(　　)A．　B．3C．　D．-13-\n[答案]　B[解析]　∵cosα＝，α为锐角，∴sinα＝，tanα＝，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.7．(文)(2022·江西省三县联考)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则cosA的值为(　　)A．　B．C．0　D．1[答案]　B[解析]　由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，∴cosA＝＝＝.(理)(2022·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是(　　)A．8　B．6C．3　D．4[答案]　D[解析]　＋＝，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝，①而条件中的“高”容易联想到面积，a·a＝bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＋＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．8．(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)A．直角三角形　B．等腰三角形C．等腰直角三角形　D．正三角形[答案]　B[解析]　∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，∵0<A、B<π，∴A－B＝0，故选B．(理)(2022·三亚市一中月考)在△ABC中，若三个角A、B、C成等差数列，对应三条边成等比数列，则△ABC一定是(　　)A．钝角三角形　B．直角三角形C．等腰直角三角形　D．等边三角形[答案]　D-13-\n[解析]　∵A、B、C成等差数列，∴B＝，A＋C＝，又b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，即sinAsinC＝，∴sinAsin(－A)＝，∴sin(2A－)＝1，∵0<A<π，∴2A－＝，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．9．(2022·山东省德州市期中)已知△ABC中三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B＝30°，b＝1，c＝，则△ABC的面积为(　　)A．　B．C．或　D．或[答案]　C[解析]　∵sin30°＝<1<3，∴△ABC有两解．由＝得，sinC＝，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝，故选C．10．(文)(2022·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为(　　)A．　B．－C．－　D．－[答案]　B[解析]　把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m＝±，又α为第三象限角，∴m＝－.(理)(2022·文登市期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，则cosA＝(　　)A．－　B．C．　D．－[答案]　A-13-\n[解析]　2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB＋cos(π－B)＝cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＋cosB－cosB＝cos(A－B＋B)＝cosA＝－，故选A．11．(文)(2022·北京海淀期中)已知函数f(x)＝，在下列给出结论中：①π是f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)在(－，0)上单调递减．其中，正确结论的个数为(　　)A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个[答案]　C[解析]　因为，f(x)＝，f(x＋π)＝＝＝－，所以，①不正确；又f(2×－x)＝＝，由满足f(2a－x)＝f(x)，其图象的对称轴为x＝a知，②正确；因为，f(x)＝＝＋，y＝sinx，y＝cosx在(－，0)上均为增函数，所以，y＝＋在(－，0)上为减函数，③正确．综上知，正确结论的个数为2，选C．(理)(2022·洛阳市期中)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1则实数m的值等于(　　)A．±1　B．－3或1C．±3　D．－1或3[答案]　B[解析]　由f(t＋)＝f(－t)得，f(＋t)＝f(－t)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，又f()＝－1，∴m±2＝－1，∴m＝1或－3.12．(2022·福州市八县联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)的值分别为(　　)-13-\nA．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2022B．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2022C．f(x)＝sinx＋1，S＝2022D．f(x)＝sinx＋1，S＝2022[答案]　D[解析]　由图象知A＝0.5，T＝4＝，∴ω＝，b＝1，∴f(x)＝0.5sin(x＋φ)＋1，由f(x)的图象过点(1，1.5)得，0.5sin(＋φ)＋1＝1.5，∴cosφ＝1，∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0，∴f(x)＝0.5sin(x)＋1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(0.5sin0＋1)＋(0.5sin＋1)＋(0.5sinπ＋1)＋(0.5sin＋1)＝4,2022＝4×503＋1，∴S＝4×503＋f(2022)＋f(2022)＝2022＋f(0)＋f(1)＝2022.5.第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·韶关市十校联考)在△ABC中，sinC＝，cosB＝－，则角cosA＝________.[答案]　[解析]　∵cosB＝－，0<B<π，∴sinB＝，且B为钝角，∴C为锐角，∵sinC＝，∴cosC＝，∴cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC＝×－(－)×＝.14．(2022·江西师大附中、临川一中联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y＝Acosωx.-13-\n[答案]　[解析]　由函数的图象可得A＝1，T＝·＝π－＝，∴ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝，∴函数f(x)＝sin(2x＋)．把函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2(x＋)＋]＝cos2x的图象．15．(2022·湖南师大附中月考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且sinφ<0，则f(x)的单调递增区间是________．[答案]　[kπ＋，kπ＋](k∈Z)[解析]　由条件知|f()|＝|sin(＋φ)|＝1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∴φ＝kπ＋，∵sinφ<0，∴取k＝1，φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ－.16．(文)(2022·河南淇县一中模拟)若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值是，则ω＝________.[答案]　[解析]　∵0<ω<1，∴T＝>2π，∴f(x)在[0，]上为增函数，由条件知2sin(ω)＝，∴ω＝2kπ＋，或ω＝2kπ＋，k∈Z，∴ω＝6k＋或6k＋，∵k∈Z,0<ω<1，∴k＝0，ω＝.(理)(2022·长安一中质检)若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝________.-13-\n[答案]　[解析]　∵2x＝(x＋y)＋(x－y)，2y＝(x＋y)－(x－y)，sin2x＋sin2y＝，∴sin(x＋y)cos(x－y)＝，又由cosxcosy＋sinxsiny＝得cos(x－y)＝，∴sin(x＋y)＝.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·韶关市十校联考)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；(2)若x∈[－，]，求f(x)的值域．[解析]　(1)因为点P(1，－)在角α的终边上，所以sinα＝－，cosα＝，所以f(α)＝sin2α－2sin2α＝2sinαcosα－2sin2α＝2×(－)×－2×(－)2＝－3.(2)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝2sin(2x＋)－1，因为x∈[－，]，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin(2x＋)≤1，所以f(x)的值域是[－2,1]．18．(本小题满分12分)(文)(2022·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝－sin2x－(1－2sin2x)＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调减区间；(2)当x∈[－，]时，求f(x)的值域．[解析]　f(x)＝－sin2x－(1－2sin2x)＋1＝－sin2x－cos2x＋1＝－2sin(2x＋)＋1.(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.f(x)＝－2sin(2x＋)＋1的单调减区间即是函数y＝sin(2x＋)的单调增区间，由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，(k∈Z)即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋)为单调增函数，-13-\n∴函数f(x)的单调减区间为[kπ－，kπ＋]，(k∈Z)．(2)∵x∈[－，]，∴2x＋∈[0，]，∴sin(2x＋)∈[0,1]，∴－2sin(2x＋)＋1∈[－1,1]，∴f(x)的值域为[－1,1]．(理)(2022·山东省德州市期中)将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象．(1)求y＝f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．[解析]　(1)函数y＝sinx的图象向下平移1个单位得y＝sinx－1，再将各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sinx－1，然后向右移1个单位得y＝sin(x－)－1.所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋⇒6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴y＝f(x)的递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为当x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．∵x∈[3,4]时，x－∈[，π]，∴sin(x－)∈[0，]，∴f(x)∈[－1，]，∴y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.19．(本小题满分12分)(文)(2022·安徽示范高中联考)已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA＝bcosC＋ccosB．(1)求A；(2)若a＝，b＝1，求c.[解析]　(1)∵2acosA＝bcosC＋ccosB，∴由正弦定理得sin2A＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，∴B＋C＝2A，∴A＝60°.(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝，b＝1，A＝60°，∴3＝1＋c2－c，∴c＝2.-13-\n(理)(2022·成都市树德中学期中)在△ABC中，已知角A为锐角，且f(A)＝＋cos2A．(1)求f(A)的最大值；(2)若A＋B＝，f(A)＝1，BC＝2，求△ABC的三个内角与AC边的长．[解析]　(1)f(A)＝＋cos2A＝＋cos2A＝sin2A＋cos2A＝(sin2A＋cos2A＋1)＝sin(2A＋)＋.∵角A为锐角，∴0<A<，<2A＋<，∴当2A＋＝时，f(A)取值最大值，其最大值为.(2)由f(A)＝1得sin(2A＋)＋＝1，∴sin(2A＋)＝，∴2A＋＝，A＝.又∵A＋B＝，∴B＝，∴C＝.在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴AC＝＝.20．(本小题满分12分)(2022·江西三县联考)已知A、B分别在射线CM、CN(不含端点C)上运动，∠MCN＝，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.(1)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若c＝，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．-13-\n[解析]　(1)∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a＝c－4，b＝c－2，又∠MCN＝，∴cosC＝－.由余弦定理得：＝－，∴c2－9c＋14＝0，∴c＝7或2，∵c>4，∴c＝7.(2)在△ABC中，＝＝，∴＝＝＝2，∴AC＝2sinθ，BC＝2sin(－θ)．∴△ABC的周长L＝|AC|＋|BC|＋|AB|＝2sinθ＋2sin(－θ)＋＝2[sinθ＋cosθ]＋＝2sin(θ＋)＋，又∵θ∈(0，)，∴<θ＋<.∴当θ＋＝，即θ＝时，L取得最大值2＋.21．(本小题满分12分)(文)(2022·长春市一调)已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，－)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．[解析]　(1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋sinxcosx＋＝＋sin2x＋＝cos2x＋sin2x＋2＝sin(2x＋)＋2，因为ω＝2，所以最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋2，当x∈[0，]时，≤2x＋≤.由正弦函数图象可知，当2x＋＝时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋＝，A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2××b×cos，所以b＝1或b＝2，-13-\n经检验均符合题意．从而当b＝1时，△ABC的面积S＝××1×sin＝；当b＝2时，S＝××2×sin＝.(理)(2022·浙北名校联盟联考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，＝.(1)求角B的大小；(2)求函数f(x)＝cosx·cos(x＋B)(x∈[0，])的值域．[解析]　(1)∵＝，而sinC>0，∴sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∵sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝，∴B＝.(2)f(x)＝cos2x－sinxcosx＝－sin2x＝cos(2x＋)＋，∵2x＋∈[，π]，∴－1≤cos(2x＋)≤，∴f(x)的值域为[－，]．22．(本小题满分14分)(文)(2022·深圳市五校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.(1)求f()的值；(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．[解析]　(1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－.∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－，∴f()＝sin(2×－)－＝sin－＝－1.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，∵sinA>0，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.-13-\n∵A＋C＝π－B＝π，∴A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，∴sin(2A－)∈(－，1]，∴f(A)＝sin(2A－)－∈(－1，]．(理)(2022·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，]上的取值范围．[解析]　(1)∵f(x)＝a·b＋λ＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·2cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝.∴f(x)＝2sin(x－)＋λ，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(，0)，∴f()＝2sin(×－)＋λ＝0，故λ＝－2sin＝－.故f(x)＝2sin(x－)－，∵0≤x≤，∴－≤x－≤，∴－≤sin(x－)≤1，∴－1－≤2sin(x－)－≤2－，故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．-13-