【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 解三角形应用举例（含解析）新人教A版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第7节解三角形应用举例新人教A版一、选择题1．(文)(2022·济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为(　　)A．km　　　　　　B．(－1)kmC．(＋1)km　D．km[答案]　B[解析]　由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x>0，∴x＝－1.(理)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．a　　　　　　　　　B．aC．a　D．2a[答案]　B[解析]　由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝a，故选B．2．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　)A．10nmile　B．10nmileC．20nmile　D．20nmile[答案]　A[解析]　如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴BC＝10，故选A．-11-\n3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(　　)A．10nmile　B．nmileC．5nmile　D．5nmile[答案]　D[解析]　在△ABC中由正弦定理得＝，∴BC＝5.4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)A．1　B．2sin10°C．2cos10°　D．cos20°[答案]　C[解析]　如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝2cos10°.5．(文)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝(　　)A．　B．2－C．－1　D．[答案]　C[解析]　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)，-11-\n在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.(理)(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)(　　)A．11.4　B．6.6C．6.5　D．5.6[答案]　B[解析]　AB＝1000×＝(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．6.如图，海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3nmile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5nmile的C处，则两艘轮船之间的距离为(　　)A．5nmile　B．2nmileC．nmile　D．3nmile[答案]　C[解析]　连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．(　　)A．237　B．227C．247　D．257-11-\n[答案]　A[解析]　解法1：如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，∵AC＝，∴AB＝AC·sin60°＝＝≈237.∴选A．解法2：在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD，∴BC＝AB－100.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴＝，∴AB＝150＋50≈237.二、填空题8．(2022·镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案]　30[解析]　如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．9.(2022·潍坊模拟)如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.[答案]　32-11-\n[解析]　设航速长为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得：＝，∴v＝32.三、解答题10．(文)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31nmile，该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21nmile，问此时轮船离港口A还有多远？[解析]　在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－)＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×21÷＝15(nmile)．∴此时轮船距港口还有15nmile.(理)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析]　如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，-11-\n∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝，∵cos∠CBA＝＝＝，∴∠CBA＝45°，即B在C正东．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．[点评]　本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．一、选择题11．(2022·江西乐安一中月考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形　B．直角三角形C．等腰直角三角形　D．等腰或直角三角形[答案]　D[解析]　∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，∵sinC＋sin(B－A)＝sin2A，∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，∴2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA＝0或sinA＝sinB，∴A＝或A＝B，故选D．12．(2022·四川雅安中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，则△ABC的形状是(　　)-11-\nA．锐角三角形　B．直角三角形C．钝角三角形　D．正三角形[答案]　C[解析]　由正弦定理可把原式化为a2＋b2－c2<0，由余弦定理可知cosC＝<0，所以C为钝角，因此△ABC为钝角三角形．13．(2022·山西长治二中、康杰中学等四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于(　　)A．5　B．25C．　D．5[答案]　A[解析]　根据正弦定理知＝，故bsinA＝，∵S△ABC＝2，即bcsinA＝2，∴c＝4.根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×cos45°＝25，可得b＝5.故选A．二、填空题14．(2022·皖北协作区联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若acosC＋asinC－b＝0，则∠A＝________.[答案]　[解析]　由acosC＋asinC－b＝0得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAsinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴tanA＝，∴A＝.15.(2022·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树________m时，看A，B的视角最大．[答案]　6[解析]　过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝－＝5(m)，BF＝－＝4(m)，AF＝－＝9(m)．则tan(α＋β)＝＝，tanβ＝＝，∴tanα-11-\n＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝.当且仅当FC＝，即FC＝6时，tanα取得最大值，此时α取得最大值．三、解答题16．(文)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为γ＝60°，求山高h(单位：m)．[解析]　在三角形ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，根据正弦定理得＝，∴＝，∴AP＝.又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，∴山高为h＝APsinα＝＝5(m)．(理)在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．[解析]　(1)设船速为xkm/h，则BC＝km.-11-\n在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB＝＝.同理，Rt△PCA中，AC＝＝.在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝＝，∴x＝6×＝2km/h，∴船的航行速度为2km/h.(2)作AD⊥BC于点D，连接PD，∴当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．此时，AD＝＝＝.∴PD＝＝.∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为km.17．(文)如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15nmile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40nmile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10nmile/h.(1)求出发后3h两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．-11-\n[解析]　以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＝15tcos45°＝15t，y1＝x1＝15t，由θ＝arctan可得，cosθ＝，sinθ＝，故x2＝10tsinθ＝10t，y2＝10tcosθ－40＝20t－40，(1)令t＝3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|＝＝＝5.即两船出发后3h，相距5nmile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ|＝＝＝＝≥20，∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.即两船出发后4h，相距最近，距离为20nmile.(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20nmile，故两船不可能相遇．(理)(2022·南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?[解析]　设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)-11-\n＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，当θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.-11-