【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 解三角形应用举例（含解析）新人教B版

【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第7节解三角形应用举例新人教B版一、选择题1．(2022·济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为(　　)A.km　　　　　B．(－1)kmC．(＋1)kmD．km[答案]　B[解析]　由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x>0，∴x＝－1.2．(文)海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(　　)A．10nmileB．nmileC．5nmileD．5nmile[答案]　D[解析]　在△ABC中由正弦定理得＝，∴BC＝5.(理)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)A.nmile/h　　　B．34nmile/hC.nmile/hD．34nmile/h[答案]　A[解析]　如图，△MNP中，∠MPN＝75°＋45°＝120°，MP＝68，∠PNM＝45°，设速度为xnmile/h，由正弦定理得，＝，∴＝，∴x＝，∴选A.3．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)-9-\nA．20mB．20mC．20(1＋)mD．30m[答案]　A[解析]　如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m.又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝(m)，∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m.4．(2022·贵阳调研)在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[答案]　C[解析]　cosA＝sin(－A)>sinB，－A，B都是锐角，则－A>B，A＋B<，C>5．(2022·长安一中、高新一中、交大附中、西安中学、师大附中一模)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区．城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时[答案]　B[解析]　以B为圆心，30为半径作⊙B与射线AT交于C、D，作BE⊥AT，∵AB＝40，∠TAB＝45°，∴BE＝20，∵BC＝30，∴CD＝2CE＝20(km)，故选B.6．(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)(　　)A．11.4B．6.6C．6.5D．5.6-9-\n[答案]　B[解析]　AB＝1000×1000×＝(m)，∴BC＝·sin30°＝(m)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．二、填空题7．(文)(2022·郑州模拟)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．[答案]　m[解析]　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝AC＝(m)．(理)2022年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10m，则旗杆的高度为________m.[答案]　30[解析]　由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20，在Rt△AMN中，MN＝20sin60°＝30.故旗杆的高度为30m.8．(文)(2022·镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案]　30[解析]　如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．(理)某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，则这个人还要走________km才能到达A城？-9-\n[答案]　15[解析]　在△CDB中，212＝202＋312－2×20×31cosB，解得cosB＝，∴sin∠ACB＝sin(120°－B)＝，设AD＝x，在△ABC中，由正弦定理得，＝，∴x＝15.答：这个人还要走15km才能达到A城．9．(2022·潍坊模拟)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.[答案]　32[解析]　设航速为vnmile/h在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得：＝，∴v＝32.三、解答题10．(文)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析]　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．[解析]　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.-9-\n此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．(理)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析]　如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝，∵cos∠CBA＝＝＝，∴∠CBA＝45°，即B在C正东．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．[点评]　本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.一、选择题-9-\n11．(2022·四川雅安中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形[答案]　C[解析]　由正弦定理可把原式化为a2＋b2－c2<0，由余弦定理可知cosC＝<0，所以C为钝角，因此△ABC为钝角三角形．12．(2022·山西长治二中、康杰中学等四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于(　　)A．5B．25C.D．5[答案]　A[解析]　根据正弦定理知＝，故bsinA＝，∵S△ABC＝2，即bcsinA＝2，∴c＝4.根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×cos45°＝25，可得b＝5.故选A.二、填空题13．(2022·皖北协作区联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若acosC＋asinC－b＝0，则∠A＝________.[答案]　[解析]　由acosC＋asinC－b＝0得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAsinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴tanA＝，∴A＝.14．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3，则△ABC的面积为________．[答案]　2[解析]　依题意得cosA＝2cos2－1＝，∴sinA＝＝，∵·＝AB·AC·cosA＝3，∴AB·AC＝5，∴△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝2.三、解答题15．(2022·柳州市、贵港市、钦州市、河池市模拟)已知△ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC＋4xsinC＋6<0的解集是空集．(1)求角C的最大值；(2)若c＝，△ABC的面积S＝，求当角C取最大值时a＋b的值．[解析]　(1)若解集为空，则解得cosC≥.则C的最大值为.-9-\n(2)S＝＝absin，得ab＝6，由余弦定理得：＝a2＋b2－ab，从而得(a＋b)2＝，则a＋b＝.16．(文)如图所示，海中小岛A周围38nmile内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30nmile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析]　在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°.由正弦定理知＝，即＝.AC＝＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(＋)(nmile)．于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈40.98(nmile)．它大于38nmile，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．(理)(2022·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？[解析]　(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.-9-\n由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为dm，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[，](单位：m/min)范围内．17．(文)(2022·山东日照市阶段训练)如图，顺达驾校拟在长为400m的道路OP的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,200]的图象，且图象的最高点为S(150,100)，训练道路的后一部分为折线段MNP，为保证训练安全，限定∠MNP＝120°.(1)求曲线段OSM对应函数的解析式；(2)应如何设计，才能使折线段训练道路MNP最长？最长为多少？[解析]　(1)由题知，图象的最高点为S(150,100)，所以A＝100，＝150，由T＝600＝，得ω＝.所求的解析式是y＝100sinx(0≤x≤200)．(2)当x＝200时，y＝150，所以MP＝250，设MN＝m，NP＝n(m，n>0)，在△MNP中，由余弦定理，得MP2＝2502＝MN2＋NP2－2MN·NPcos120°.即2502＝(m＋n)2－mn.又mn≤(m＝n时取等号)，所以2502＝(m＋n)2－mn≥(m＋n)2－，解得0<m＋n≤.-9-\n即设计折线段训练道路中MN与NP的长度相等时，折线段训练道路MNP最长．最长为m.(理)(2022·南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?[解析]　设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，当θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.-9-