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【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)新人教B版
【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)新人教B版
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阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·山西大学附中月考)已知角θ的终边过点P(-4k,3k)(k<0),则2sinθ+cosθ的值是( )A. B.-C.或-D.随着k的取值不同其值不同[答案] B[解析] ∵k<0,∴|OP|=-5k,∴sinθ=-,cosθ=,∴2sinθ+cosθ=-.2.(文)(2022·山东莱芜期中)为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只需把函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位[答案] D[解析] ∵y=sin(2x-)=sin2(x-),∴选D.(理)(2022·山东省菏泽市期中)要得到y=sin(2x-)的图象,只要将函数y=sin(2x+)的图象向右平移( )个单位即可( )A.B.πC.D.[答案] D[解析] ∵sin[2(x-)+]=sin(2x-),∴只需将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位可得到y=sin(2x-)的图象.3.(文)(2022·威海期中)角α的终边经过点P(sin10°,-cos10°),则α的可能取值为( )A.10° B.80°C.-10°D.-80°[答案] D[解析] 由条件知tanα==-tan80°=tan(-80°),故选D.(理)(2022·北京海淀期中)在△ABC中,若tanA=-2,则cosA=( )-12-\nA.B.-C.D.-[答案] B[解析] 在△ABC中,若tanA=-2,则A∈(,π),cosA=-=-=-,故选B.4.(2022·山东滕州一中月考)化简的结果是( )A.-1B.1C.tanαD.-tanα[答案] C[解析] 原式==tanα.5.(2022·江西省三县联考)在△ABC中,若sinAsinBsinC=345,则cosA的值为( )A.B.C.0D.1[答案] B[解析] 由正弦定理得abc=sinAsinBsinC=345,∴设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),∴cosA===.6.(2022·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角,且sinα+cosα=2m,sin2α=m2,则m的值为( )A.B.-C.-D.-[答案] B[解析] 把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m2,又sin2α=m2,∴3m2=1,解得m=±,又α为第三象限角,∴m=-.7.(2022·山东烟台期中)已知方程=k在(0,+∞)有两个不同的解α,β(α<β),则下面结论正确的是( )A.tan(α+)=B.tan(α+)=-12-\nC.tan(β+)=D.tan(β+)=[答案] C[解析] ∵方程=k在(0,+∞)内有两个不同解α、β(α<β),∴函数y=|sinx|与y=kx的图象在(0,+∞)内有两不同交点,交点的横坐标为α、β,∴直线y=kx与y=-sinx(π<x<2π)相切,且切点横坐标为β,从而有k=-cosβ,且kβ=-sinβ,∴β=tanβ,∴tan(β+)==,故选C.8.(2022·九江市七校联考)在△ABC中,AC=7,∠B=,△ABC的面积S=,则AB=( )A.5或3B.5C.3D.5或6[答案] A[解析] 设AB=x,BC=y,则x>0,y>0,由条件得,即则或∴AB=3或5.9.(2022·安徽程集中学期中)在△ABC中,“sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sinA≥1,∴sinA=1,∴A为直角,但△ABC为直角三角形时,不一定A为直角,故选A.10.(2022·山西忻州四校联考)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为a,则+的最大值是( )A.8B.6C.3D.4[答案] D[解析] +=,这个形式很容易联想到余弦定理:cosA=,①而条件中的“高”容易联想到面积,a·a=bcsinA,即a2=2bcsinA,②将②代入①得:b2+c2=2bc(cosA+sinA),∴+=2(cosA+sinA)=4sin(A+),当A=时取得最大值4,故选D.11.(文)(2022·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是( )-12-\nA.y=sin(2x+)B.y=sin(2x+)C.y=sin(2x-)D.y=sin(2x-)[答案] D[解析] 最小正周期为π,不起作用,把x=代入解析式,函数取到最值,经检验D符合.(理)(2022·洛阳市期中)若f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(t+)=f(-t),且f()=-1,则实数m的值等于( )A.±1B.-3或1C.±3D.-1或3[答案] B[解析] 由f(t+)=f(-t)得,f(+t)=f(-t),∴f(x)的图象关于直线x=对称,又f()=-1,∴m±2=-1,∴m=1或-3.12.(2022·福州市八县联考)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )A.[,]B.[,]C.(0,]D.(0,2][答案] A[解析] 由2kπ+≤ωx+≤2kπ+及ω>0得,+≤x≤+,k∈Z.∵f(x)在(,π)上单调递减,∴(,π)⊆[+,+],∴k=0,∴≤ω≤,故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·韶关市十校联考)在△ABC中,sinC=,cosB=-,则角cosA=________.[答案] [解析] ∵cosB=-,0<B<π,∴sinB=,且B为钝角,∴C为锐角,∵sinC=,∴cosC=,-12-\n∴cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=×-(-)×=.14.(2022·吉林延边州质检)设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c,若△ABC的面积为S=a2-(b-c)2,则=________.[答案] 4[解析] ∵S=bcsinA,a2-(b-c)2=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA,S=a2-(b-c)2,∴bcsinA=2bc-2bccosA,∴=4.15.(2022·江西师大附中、临川一中联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向左至少平移________个单位后,得到的图象解析式为y=Acosωx.[答案] [解析] 由函数的图象可得A=1,T=·=π-=,∴ω=2.再根据五点法作图可得2×+φ=,∴φ=,∴函数f(x)=sin(2x+).把函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位,可得y=sin[2(x+)+],即y=cos2x的图象.16.(文)(2022·湖南师大附中月考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ为实数),若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且sinφ<0,则f(x)的单调递增区间是________.[答案] [kπ+,kπ+](k∈Z)[解析] 由条件知|f()|=|sin(+φ)|=1,∴+φ=kπ+,k∈Z.∴φ=kπ+,∵sinφ<0,∴取k=1,φ=,∴f(x)=sin(2x+).-12-\n由2kπ-≤2x+≤2kπ+得,kπ-≤x≤kπ-.(理)(2022·甘肃临夏中学期中)函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C,则如下结论中正确的序号是________.①图象C关于直线x=π对称;②图象C关于点(,0)对称;③函数f(x)在区间(-,)内是增函数;④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.[答案] ①②③[解析] ①当x=时,f()=3sin=-3,∴正确;②当x=时,f()=0,∴正确;③由2kπ-≤2x-≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),∴正确;④y=3sin2x的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2(x-),∴④错误.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·韶关市十校联考)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x.(1)若点P(1,-)在角α的终边上,求f(α)的值;(2)若x∈[-,],求f(x)的值域.[解析] (1)因为点P(1,-)在角α的终边上,所以sinα=-,cosα=,所以f(α)=sin2α-2sin2α=2sinαcosα-2sin2α=2×(-)×-2×(-)2=-3.(2)f(x)=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=2sin(2x+)-1,因为x∈[-,],所以-≤2x+≤,所以-≤sin(2x+≤1,所以f(x)的值域是[-2,1].18.(本小题满分12分)(文)(2022·辽宁师大附中期中)设△-12-\nABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cosB=,b=2.(1)当A=30°时,求a的值;(2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.[解析] (1)∵cosB=,∴sinB=.由正弦定理=,可得=.∴a=.(2)∵△ABC的面积S=acsinB,sinB=,S=3,∴ac=10.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,4=a2+c2-ac=a2+c2-16,即a2+c2=20.∴(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40,∴a+c=2.(理)(2022·甘肃会宁二中模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知=.(1)求A的大小;(2)若a=6,求b+c的取值范围.[解析] (1)由条件结合正弦定理得,==,从而sinA=cosA,tanA=,∵0<A<π,∴A=.(2)解法一:由已知:b>0,c>0,b+c>a=6,由余弦定理得:36=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=(b+c)2,(当且仅当b=c时等号成立),∴b+c≤12,又b+c>6,∴6<b+c≤12,从而b+c的取值范围是(6,12].解法二:由正弦定理得:===4.∴b=4sinB,c=4sinC,∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(-B)]=4(sinB+cosB)=12(sinB+cosB)=12sin(B+).-12-\n∵<B+<,∴6<12sin(B+)≤12,即6<b+c≤12(当且仅当B=时等号成立),从而b+c的取值范围是(6,12].19.(本小题满分12分)(文)(2022·马鞍山二中期中)已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(,).(1)若||=||,求角α的值;(2)若·=-1,求的值.[解析] (1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,2=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα,由||=||,可得2=2,即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.又∵α∈(,),∴α=.(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=.①又==2sinαcosα.由①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-.∴=-.(理)(2022·辽宁师大附中期中)已知向量a=(2sinx,sinx-cosx),b=(cosx,(cosx+sinx)),函数f(x)=a·b+1.(1)当x∈[,]时,求f(x)的最大值和最小值;(2)求f(x)的单调区间.[解析] (1)f(x)=sin2x-cos2x+1=2sin(2x-)+1.∵≤x≤,∴≤2x≤π,∴≤2x-≤,∴≤sin(2x-)≤1,∴1≤2sin(2x-)≤2,-12-\n于是2≤2sin(2x-)+1≤3,∴f(x)的最大值是3,最小值是2.(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,同理由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z得,f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.20.(本小题满分12分)(2022·马鞍山二中期中)如图A、B是海面上位于东西方向相距5(3+)nmile的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30nmile/h,该救援船到达D点需要多长时间?[解析] 由题意知AB=5(3+)nmile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得,=∴DB=====10(nmile).又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(nmile),在△DBC中,由余弦定理得,CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10×20×=900,∴CD=30(nmile),则需要的时间t==1(h).-12-\n答:救援船到达D点需要1h.21.(本小题满分12分)(文)(2022·深圳市五校联考)已知f(x)=sin(π+ωx)sin(-ωx)-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.(1)求f()的值;(2)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若有(2a-c)cosB=bcosC,则求角B的大小以及f(A)的取值范围.[解析] (1)f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx=sin2ωx-cos2ωx-=sin(2ωx-)-.∵y=f(x)的最小正周期T=π,∴=π,∴ω=1,∴f(x)=sin(2x-)-,∴f()=sin(2×-)-=sin-=-1.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴由正弦定理可得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,∵sinA>0,∴cosB=,∵B∈(0,π),∴B=.∵A+C=π-B=π,∴A∈(0,),∴2A-∈(-,),∴sin(2A-)∈(-,1],∴f(A)=sin(2A-)-∈(-1,].(理)(2022·浙江省五校联考)已知函数f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx-,其中ω>0,f(x)的最小正周期为4π.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.[解析] f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-=sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+).∵=4π,∴ω=,f(x)=sin(+).(1)由2kπ-≤+≤2kπ+(k∈Z)得:-12-\n4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间是[4kπ-,4kπ+](k∈Z).(2)由正弦定理得,(2sinA-sinC)cosB=sinB·cosC,∴2sinAcosB=sin(B+C),∵sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0,∴cosB=,∵0<B<π,∴B=,∴0<A<,<+<,∴f(A)∈(,1).22.(本小题满分14分)(文)(2022·四川巴中市诊断)设函数f(x)=cos+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A、B、C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA的值.[解析] (1)f(x)=cos+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x,所以函数f(x)的最大值为,最小正周期为π.(2)f()=-sinC=-,所以sinC=,因为C为锐角,所以C=,在△ABC中,cosB=,所以sinB=,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.(理)(2022·濉溪县月考)已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(λ∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数且ω∈(,1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数y=f(x)在区间[0,]上的取值范围.[解析] (1)∵f(x)=a·b+λ=(cosωx-sinωx)·(-cosωx-sinωx)+sinωx·2cosωx+λ=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=sin(2ωx)-cos(2ωx)+λ=2sin(2ωx-)+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(2ωπ-)=±1,∴2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z),-12-\n又ω∈(,1),k∈Z,所以k=1,ω=.∴f(x)=2sin(x-)+λ,∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵函数y=f(x)的图象过点(,0),∴f()=2sin(×-)+λ=0,故λ=-2sin=-.故f(x)=2sin(x-)-,∵0≤x≤,∴-≤x-≤,∴-≤sin(x-)≤1,∴-1-≤2sin(x-)-≤2-,故函数f(x)在[0,]上的取值范围为[-1-,2-].-12-
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