【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题2 函数(含解析)新人教B版
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阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(文)(2022·广东阳东一中、广雅中学联考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)[答案] C[解析] 要使函数f(x)有意义,应有∴x>-1且x≠1,故选C.(理)(2022·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是( )A.(-,+∞)B.(-,1)C.(-,)D.(-∞,-)[答案] B[解析] 为使f(x)=+lg(3x+1)有意义,须解得-<x<1,故选B.2.(2022·石光中学段测)函数f(x)=x-5+2x-1的零点所在的区间是( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)[答案] C[解析] f(0)=-4<0,f(1)=-3<0,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,故选C.3.(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)设a=0.32,b=20.3,c=log0.34,则( )A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20=1,log0.34<log0.31=0,∴c<a<b.(理)(2022·湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)若a=log23,b=log32,c=log4,则下列结论正确的是( )A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a[答案] D-10-\n[解析] ∵a=log23>log22=1,0=log31<b=log32<log33=1,c=log4<log41=0,∴c<b<a,故选D.4.(2022·湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=( )A.1B.C.-1D.-[答案] C[解析] 由f(x-2)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),因为4<log220<5,所以0<log220-4<1,-1<4-log220<0,所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log2)=-1,故选C.5.(文)(2022·石光中学段测)函数y=log5(1-x)的大致图象是( )[答案] C[解析] 由1-x>0得x<1,排除A、B;又y=log5(1-x)为减函数,排除D,选C.(理)(2022·江淮十校联考)函数f(x)=的大致图象是( )[答案] B[解析] 由函数解析式可得f(x)为偶函数,当|x|≤1时,f(x)==y≥0,即圆x2+y2=1位于x轴上方部分;当x>1时,f(x)=,其图象在第一象限单调递减,所以选B.6.(2022·北京海淀期中)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )A.f(x)=B.f(x)=lnxC.f(x)=2xD.f(x)=tanx[答案] C[解析] ∵≥0,lnx∈R,2x>0,tanx∈R,∴选C.-10-\n7.(文)(2022·甘肃民乐一中诊断)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|[答案] C[解析] y=在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;y=e-x在(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C;y=lg|x|在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故排除D.(理)(2022·河南省实验中学期中)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )A.y=cos2xB.y=log2|x|C.y=D.y=x3+1[答案] B[解析] y=x3+1是非奇非偶函数;y=为奇函数;y=cos2x在(1,2)内不是单调增函数,故选B.8.(2022·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )A.-3B.-1C.1D.3[答案] A[解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.9.(2022·山西曲沃中学期中)如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF,中心在原点,边长为a,AB平行于x轴,直线l:y=kx+t(k为常数)与正六边形交于M、N两点,记△OMN的面积为S,则关于函数S=f(t)的奇偶性的判断正确的是( )A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.既不是奇函数,也不是偶函数D.奇偶性与k有关[答案] B[解析] 设直线OM、ON与正六边形的另一个交点分别为M′、N′,由于正六边形关于点O成中心对称,∴OM′=OM,ON′=ON,从而△OM′N′与△OMN成中心对称,设直线l交y轴于T,直线M′N′交y轴于T′,则|OT|=|OT′|,且S△OM′N′=S△OMN,即当t<0时,有S=f(t)=f(-t),∴S=f(t)为偶函数.10.(文)(2022·泸州市一诊)函数f(x)=(1-)sinx的图象大致为( )-10-\n[答案] A[解析] 首先y=1-为偶函数,y=sinx为奇函数,从而f(x)为奇函数,故排除C、D;其次,当x=0时,f(x)无意义,故排除B,选A.(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f(x)=(1-cosx)sinx=4sin3cos,∵f()=1,∴排除D;∵f(x)为奇函数,∴排除B;∵0<x<π时,f(x)>0,排除A,故选C.11.(2022·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)=()x-log2x,正实数a,b,c满足a<b<c且f(a)·f(b)·f(c)<0.若实数d是方程f(x)=0的一个解,那么下列四个判断:①d<a ②d>a ③d>c ④d<c中有可能成立的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4[答案] B[解析] ∵y=()x为减函数,y=log2x为增函数,∴f(x)为减函数,由题意f(d)=0,又a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,∴f(c)<0,f(a)>0,从而a<d<c,∴②④正确,选B.12.(2022·河北高阳中学月考)若函数f(x)=1++sinx在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n=( )A.0 B.1 C.2 D.4[答案] D[解析] 令g(x)=sinx,-k≤x≤k,则在关于原点对称的任意区间A上(A⊆[-k,k]),总有g(x)max+g(x)min=0,-10-\n令h(x)=1+,则h(x)=3-,易知h(x)在[-k,k]上单调递增,设0<a≤k,则h(a)+h(-a)=(3-)+(3-)=4.∵f(x)在[-k,k]上的值域为[m,n],∴m+n=4.[点评] 本题中抓住f(x)+f(-x)=4恒成立,及g(x)=sinx在关于原点对称的区间上最大值与最小值之和为0,从题意中领会到m+n是一个定值是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·营口三中期中)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x).若当0≤x<1时,f(x)=2x,则f(log26)=________.[答案] [解析] ∵f(x+1)=f(1-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的周期函数,∴f(log26)=f(log26-2)=f(log2),∵0<log2<1,∴f(log2)==,∴f(log26)=.14.(2022·宝安中学、仲元中学摸底)若f(x)=2x+2-xlga是奇函数,则实数a=________.[答案] [解析] ∵函数f(x)=2x+2-xlga是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0恒成立.∴2x+2-xlga+2-x+2xlga=0,即2x+2-x+lga(2x+2-x)=0恒成立,∴lga=-1,∴a=.15.(2022·洛阳市期中)函数f(x)=的最大值与最小值之积等于________.[答案] -[解析] f(x)===,当x>0时,x+≥2等号在x=1时成立,此时f(x)∈(0,];当x<0时,x+≤-2,等号在x=-1时成立,此时f(x)∈[-,0),又f(0)=0,∴f(x)∈[-,],∴最大值与最小值之积为-.16.(文)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)=若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是________.[答案] -3<a<1[解析] 根据所给分段函数,画图象如下:-10-\n可知函数f(x)在整个定义域上是单调递减的,由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a,解得-3<a<1.(理)(2022·湖南省五市十校联考)下列命题:①函数y=sin(x-)在[0,π]上是减函数;②点A(1,1),B(2,7)在直线3x-y=0两侧;③数列{an}为递减的等差数列,a1+a5=0,设数列{an}的前n项和为Sn,则当n=4时,Sn取得最大值;④定义运算=a1b2-a2b1,则函数f(x)=的图象在点(1,)处的切线方程是6x-3y-5=0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上).[答案] ②④[解析] y=sin(x-)=-cosx在[0,π]上为增函数,∴①错;∵(3×1-1)(3×2-7)<0,∴②正确;∵{an}为递减等差数列,∴d<0,∵a1+a5=0,∴a1>0,a5<0,且a3=0,∴当n=2或3时,Sn取得最大值,故③错;由新定义知f(x)=x3+x2-x,∴f′(x)=x2+2x-1,∴f′(1)=2,故f(x)在(1,)处的切线方程为y-=2(x-1),即6x-3y-5=0,∴④正确,故填②④.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)=(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式.[解析] (1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故有f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x).从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.当x∈[-1,0)时,有-x∈(0,1],∴f(x)=-f(-x)=-.故x∈[-1,0]时,f(x)=-.-10-\n当x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],f(x)=f(x+4)=-,从而x∈[-5,-4]时,函数f(x)=-.18.(本小题满分12分)(2022·北京朝阳区期中)已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无交点,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围;(3)设函数g(x)=bx+5-2b,b∈R.当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2),求b的取值范围.[解析] (1)∵f(x)的图象与x轴无交点,∴Δ=16-4(a+3)<0,∴a>1.(2)∵f(x)的对称轴为x=2,∴f(x)在[-1,1]上单调递减,欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有即∴-8≤a≤0.(3)若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2),只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)值域的子集即可.∵函数y=f(x)在区间[1,4]上的值域是[-1,3],当b>0时,g(x)在[1,4]上的值域为[5-b,2b+5],只需∴b≥6;当b=0时,g(x)=5不合题意,当b<0时,g(x)在[1,4]上的值域为[2b+5,5-b],只需∴b≤-3.综上知b的取值范围是b≥6或b≤-3.19.(本小题满分12分)(文)(2022·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a、b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.[解析] (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,化为1+()2-2·()≥k,令t=,则k≤t2-2t+1,因为x∈[-1,1],故t∈[,2],记h(t)=t2-2t+1,因为t∈[,2],故h(t)max=1,所以k的取值范围是(-∞,1].(理)(2022·浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+ax3+x2-b(x∈R),其中a,b∈R.若函数g(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围.[解析] (1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,∴-1<m<3,又m∈Z,∴m=0,1,2,而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数,∴f(x)=x4.-10-\n(2)g(x)=x4+ax3+x2-b,g′(x)=x(x2+3ax+9),显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.为使g(x)仅在x=0处有极值,必须x2+3ax+9≥0恒成立,即有Δ=9a2-36≤0,解不等式得a∈[-2,2].这时,g(0)=-b是唯一极值.∴a∈[-2,2].20.(本小题满分12分)(2022·河北冀州中学期中)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2(a>0)的单调递减区间是(1,2)且满足f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)对任意m∈(0,2],关于x的不等式f(x)<m3-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)上有解,求实数t的取值范围.[解析] (1)由f(0)=a2=1,且a>0,可得a=1.由已知,得f′(x)=3ax2+2bx+c=3x2+2bx+c,∵函数f(x)=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区是(1,2),∴f′(x)<0的解是1<x<2.所以方程3x2+2bx+c=0的两个根分别是1和2,∴得∴f(x)=x3-x2+6x+1.(2)由(1),得f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),∵当x>2时,f′(x)>0,∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,x∈[2,+∞)时,f(x)min=f(2)=3,要使f(x)<m3-mlnm-mt+3在x∈[2,+∞)上有解,应有m3-mlnm-mt+3>f(x)min,∴m3-mlnm-mt+3>3,mt<m3-mlnm对任意m∈(0,2]恒成立,即t<m2-lnm对任意m∈(0,2]恒成立.设h(m)=m2-lnm,m∈(0,2],则t<h(m)min,h′(m)=m-==,令h′(m)=0得m=1或m=-1,由m∈(0,2],列表如下:m(0,1)1(1,2)2h′(m)-0+h(m)↘极小值↗∴当m=1时,h(m)min=h(m)极小值=,∴t<.21.(本小题满分12分)(2022·湖北龙泉中学、宜昌一中等四校联考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-10-\n-1450(万元).通过市场分析,每件商品售价定为500元,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)求年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?[解析] (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-(x+).所以L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950.当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元.当x≥80时,L(x)=1200-(x+)≤1200-2=1200-200=1000,在x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.∵950<1000,∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.22.(本小题满分14分)(2022·长春市十一高中阶段测试)设函数f(x)=(x2+2)lnx,g(x)=2x2+ax,a∈R.(1)证明:f(x)是(0,+∞)上的增函数;(2)设F(x)=f(x)-g(x),当x∈[1,+∞)时,F(x)≥0恒成立,求a的取值范围.[解析] (1)证明:要证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,只需证明f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,∵f′(x)=2xlnx++x,∴x(2lnx++1)≥0,∴2lnx++1≥0.设h(x)=2lnx++1,x∈(0,+∞),则h′(x)=-=,所以h(x)在(0,)上单调递减,(,+∞)上单调递增,h(x)的最小值为h()=ln2+2>0,故f′(x)=2xlnx++x=xh(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)∵F(x)=f(x)-g(x)=(x2+2)lnx-2x2-ax≥0在[1,+∞)上恒成立,∴a≤在x∈[1,+∞)上恒成立,-10-\n设G(x)=则G′(x)=,当1<x<或x>e时,G′(x)>0,当<x<e时,G′(x)<0,∴g(x)在(1,)上单调递增,在(,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.∴G(x)的最小值为G(1),G(e)中较小的,∵G(e)-G(1)=-e+2>0,∴G(e)>G(1),∴G(x)在x∈[1,+∞)上的最小值为G(1)=-2,∴a≤-2.-10-
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