【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题5 平面向量(含解析)新人教B版
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阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·江西乐安一中月考)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于( )A.-4 B.4 C.0 D.9[答案] D[解析] ∵a-b=(1-x,4),a⊥(a-b),∴a·(a-b)=(1,2)·(1-x,4)=9-x=0,∴x=9.2.(2022·皖南八校联考)已知点A(2,-),B(,),则与向量方向相同的单位向量是( )A.(,-) B.(,-)C.(-,)D.(-,)[答案] C[解析] =(-,2),||==,∴=(-,).3.(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°[答案] C[解析] ∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=|a|2+a·b=0,∴a·b=-1,即1×2×cos〈a,b〉=-1,∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=120°.(理)(2022·沈阳市一模)若向量a、b满足a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( )A.45°B.60°C.120°D.135°[答案] D[解析] 由a+b=(2,-1),a=(1,2),得b=(1,-3),从而cos〈a,b〉===-.∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=135°.4.(2022·呼和浩特市期中)已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影是( )-12-\nA.-B.C.D.-3[答案] A[解析] 由已知,向量|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=1+4+2=7,|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=1+4-2=3,(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=-3,则cos〈a-b,a+b〉===-,向量a-b在向量a+b上的投影是|a-b|cos〈a-b,a+b〉=×(-)=-,故选A.5.(2022·石光中学阶段测试)已知m>0,n>0,向量a=(m,1),b=(1-n,1),且a∥b,则+的最小值是( )A.2B.+1C.2-1D.3+2[答案] D[解析] ∵a∥b,∴m-(1-n)=0,∴m+n=1,∵m>0,n>0,∴+=(+)·(m+n)=3++≥3+2.等号成立时,即6.(2022·浙江慈溪市、余姚市期中联考)在△ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则+=( )A.B.C.D.[答案] A[解析] =(+),=(+),∴+=(+++)=(+)=.7.(2022·湖南师大附中月考)若等边△ABC边长为2,平面内一点M满足=+,则·=( )A.-1B.C.-2D.2[答案] C[解析] 建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件可知:A(0,3),B(-,0),C(,0),-12-\n设M(a,b),=+=(-2,0)+(0,3)=(-,2),又=-=(a,b)-(,0)=(a-,b),∴∴a=0,b=2,∴M(0,2),所以=(0,1),=(-,-2),因此·=-2.故选C.8.(2022·宁夏银川二中统练)若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a-b与b的夹角为( )A.B.C.D.[答案] D9.(2022·营口三中期中)已知a+b+c=0,且a与c的夹角为60°,|b|=|a|,则cos〈a,b〉等于( )A.B.C.-D.-[答案] D[解析] 设〈a,b〉=α,∵|b|=|a|,∴|b|2=3|a|2,a·b=|a|2cosα,a·c=|a|·|c|·cos60°=|a|·|a+b|.∵a·c=-(a+b)·a=-|a|2-a·b=-|a|2-|a|2cosα,|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+3|a|2+2|a|2cosα=4|a|2+2|a|2cosα,∴-|a|2-|a|2cosα=|a|·,∴-cosα-1=,∴cosα=-,故选D.10.(2022·成都市树德中学期中)已知a=(,),b=(,-),曲线a·b=1上一点M到F(7,0)的距离为11,N是MF的中点,O为坐标原点,则|ON|=( )-12-\nA.B.C.D.或[答案] B[解析] 由a·b=1得,-=1,易知F(7,0)为其焦点,设另一焦点为F1,由双曲线的定义,||MF1|-|MF||=10,∴|MF1|=1或21,显然|MF1|=1不合题意,∴|MF1|=21,ON为△MF1F2的中位线,∴|ON|=.11.(文)(2022·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC中,D是BC的中点,AD=3,点P在AD上且满足=3,则·(+)=( )A.6B.-6C.-12D.12[答案] C[解析] ∵AD=3,=3,∴||=3,||=1,∴||=2,∵D为BC的中点,∴·(+)=·2=-2·||·||=-12.(理)(2022·浙江省五校联考)已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心,且∠AOB=120°,MN是圆O的一条直径,点C在圆内,且满足=λ+(1-λ)(0<λ<1),则·的取值范围是( )A.[-,1)B.[-1,1)C.[-,0)D.[-1,0)[答案] C[解析] 以直线MN为x轴,单位圆的圆心O为原点建立直角坐标系,则M(-1,0),N(1,0),∴·=-1,∵=λ+(1-λ),(0<λ<1),-12-\n∴=λ(0<λ<1),∴C在线段AB上(不包括端点),∵OA=OB=1,∠AOB=120°,∴||∈[,1),∴·=(+)·(+)=||2+·(+)+·=||2-1∈[-,0).12.(文)(2022·遵义航天中学二模)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ的值为( )A.B.C.-D.-[答案] A[解析] 在△ABC中,已知D是AB边上一点∵=2,=+λ,∴=+=+=+(-)=+,∴λ=,故选A.(理)(2022·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图,平面内的两个单位向量,,它们的夹角是60°,与、向量的夹角都为30°,且||=2,若=λ+μ,则λ+μ的值为( )A.2B.4C.2D.4[答案] B[解析] 以OA、OB为邻边作▱OADB,∵OA=1,OB=1,∠AOB=60°,∴OD=,∵与、的夹角都为30°,∴与共线,∴=2=2+2,∴λ=μ=2,λ+μ=4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量a,b,c在单位正方形网格中的位置如图所示,则a·(b+c)=________.-12-\n[答案] 3[解析] 如图建立平面直角坐标系,则a=(1,3),b=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),c=(3,2)-(5,-1)=(-2,3),∴b+c=(0,1),∴a·(b+c)=(1,3)·(0,1)=3.14.(文)(2022·江西临川十中期中)若非零向量a,b,c,满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=________.[答案] 0[解析] ∵a∥b,∴存在实数λ,使b=λa,又a⊥c,∴a·c=0,∴c·(a+2b)=c·(a+2λa)=(1+2λ)a·c=0.(理)(2022·山西忻州四校联考)已知m,n是夹角为120°的单位向量,向量a=tm+(1-t)n,若n⊥a,则实数t=________.[答案] [解析] ∵m,n是夹角为120°的单位向量,向量a=tm+(1-t)n,n⊥a,∴n·a=n·[tm+(1-t)n]=tm·n+(1-t)n2=tcos120°+1-t=1-t=0,∴t=.15.(文)(2022·湖南省五市十校联考)点M(x,y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点,使z=y-2x的值取得最小的点为A(x0,y0),则·(O为坐标原点)的取值范围是________.[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD区域,作直线l0:y-2x=0,平移l0,当平移到经过点B(,1)时,z取最小值,∴A为B点,即A(,1),∵M在平面区域Ω内运动,||为定值,·=||·(||·cos〈,〉),-12-\n∴当M与O(或C)重合时,||cos〈,〉取到最小值(或最大值),且M与O重合时,·=0,M与C重合时,·=(,3)·(,1)=6,∴0≤·≤6.(理)(2022·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P(x,y)为平面上以A(4,0),B(0,4),C(1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点,O为原点,且=λ+μ,则λ+μ的取值范围为________.[答案] [,1][解析] 直线AB:x+y=4,直线AC:2x+3y-8=0,直线BC:2x+y-4=0,∴点P所在的平面区域为即△ABC的内部和边界,∵=λ+μ=(4λ,4μ),∴∴λ+μ=(x+y).作直线l0:x+y=0,平移l0,可知当平移到经过点C(1,2)时,x+y取最小值3,与直线AB重合时,x+y取最大值4,从而3≤x+y≤4,∴≤λ+μ≤1.16.(文)(2022·合肥市两校联考)若α,β是一组基底,向量γ=x·α+y·β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为________.[答案] (0,2)[解析] a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),设a=xm+yn=(y-x,x+2y),则∴(理)(2022·娄底市名校联考)如图,Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则将有序实数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若=(3,2),则||=________.-12-\n[答案] [解析] 由题意可得e1·e2=cos120°=-.||====.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=,求:(1)a与b的夹角;(2)a+b与a-b的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=,|a|=1,∴|b|=,设a与b的夹角为θ,则cosθ===,∵θ∈[0,π],∴θ=.(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=,∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=,设a-b,a+b的夹角为α,则cosα===.18.(本小题满分12分)(2022·皖南八校联考)如图,∠AOB=,动点A1,A2与B1,B2分别在射线OA,OB上,且线段A1A2的长为1,线段B1B2的长为2,点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点.-12-\n(1)用向量与表示向量;(2)求向量的模.[解析] (1)=++,=++,两式相加,并注意到点M、N分别是线段A1B1、A2B2的中点,得=(+).(2)由已知可得向量与的模分别为1与2,夹角为,所以·=1,由=(+)得,||===.19.(本小题满分12分)(2022·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,),点M满足=,点P在线段BC上运动(包括端点),如图.(1)求∠OCM的余弦值;(2)是否存在实数λ,使(-λ)⊥,若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.[解析] (1)由题意可得=(6,0),=(1,),==(3,0),=(2,-),=(-1,-),-12-\n∴cos∠OCM=cos〈,〉==.(2)设P(t,),其中1≤t≤5,λ=(λt,λ),-λ=(6-λt,-λ),=(2,-),若(-λ)⊥,则(-λ)·=0,即12-2λt+3λ=0⇒(2t-3)λ=12,若t=,则λ不存在,若t≠,则λ=,∵t∈[1,)∪(,5],故λ∈(-∞,-12]∪[,+∞).20.(本小题满分12分)(2022·安徽程集中学期中)已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos,sin),n=(cos,-sin),且m与n的夹角为.(1)求角C的值;(2)已知c=3,△ABC的面积S=,求a+b的值.[解析] (1)∵|m|=|n|=1,∴m·n=|m|·|n|·cos=,又m·n=coscos+sin(-sin)=cosC,∴cosC=,又∵C∈(0,π),∴C=.(2)由c2=a2+b2-2abcosC,得a2+b2-ab=9,①由S△ABC=absinC=,得ab=,②由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25,∵a,b∈R+,∴a+b=5.21.(本小题满分12分)(2022·湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)已知函数f(x)=a·b+,其中a=(sinx-cosx,-1),b=(cosx,1).(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且c=3,f(C)=0,若sin(A+C)=2sinA,求a、b的值.[解析] (1)f(x)=a·b+=sinxcosx-cos2x-1+=sin2x-(1+cos2x)-=sin(2x-)-1,-12-\nf(x)的最大值为0;最小正周期为π.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,又-<2C-<,∴2C-=,解得C=,又∵sin(A+C)=sinB=2sinA,由正弦定理=,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=9,由①②解得:a=,b=2.22.(本小题满分14分)(文)(2022·东北育才学校一模)已知向量a=(cosx,-),b=(sinx,cos2x),设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.[解析] (1)f(x)=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).当2kπ-≤2x-≤2kπ+时,解得kπ-≤x≤kπ+,∴f(x)=sin(2x-)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当x∈[0,]时,(2x-)∈[-,],∴sin(2x-)∈[-,1],所以,f(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为1,-.(理)(2022·湖南省五市十校联考)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,-),函数f(x)=m2+m·n-2.(1)求f(x)的最大值,并求取得最大值时x的取值集合;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角,且f(B)=1,求+的值.[解析] (1)f(x)=m2+m·n-2=(m+n)·m-2=(sinx+cosx,-)·(sinx,-1)-2=sin2x+sinxcosx-=+sin2x-=sin2x-cos2x=sin(2x-).故f(x)max=1,此时2x-=2kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z.-12-\n所以取得最大值时x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.(2)∵f(B)=1,∴sin(2B-)=1,又∵0<B<,∴-<2B-<π.∴2B-=,∴B=.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴sin2B=sinAsinC.∴+=+=====.-12-
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