【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题8 平面解析几何(含解析)新人教B版
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阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·三峡名校联盟联考)直线x-y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是( )A.相离 B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心[答案] B[解析] 圆心C(1,0)到直线的距离d==,∴选B.2.(文)(2022·内蒙赤峰市宁城县月考)抛物线x2=ay的准线方程是y=1,则实数a的值为( )A.-4B.4C.D.-[答案] A[解析] 由条件知-=1,∴a=-4.(理)(2022·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为( )A.+=1或+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1[答案] C[解析] 由条件知a=6,e==,∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选C.3.(2022·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合A={(x,y)|+=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1[答案] A[解析] 指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,∴A∩B中有2个元素,∴其子集有22=4个.4.(2022·长春市十一高中阶段性测试)已知双曲线--12-\n=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3[答案] C[解析] 由条件知,=c,∴=,∴4b2=5a2,∵a2+b2=c2,∴4c2=9a2,∴e==.5.(2022·大连市二十中期中)已知圆C:(x-4)2+(y-4)2=1和两点A(1-m,0),B(1+m,0),m>0,若圆C上存在点P,∠APB=90°,则m的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4[答案] B[解析] 由条件知,以线段AB为直径的⊙D与⊙C有公共点,∵C(4,4),D(1,0),∴圆心距|CD|=5,∴|m-1|≤|CD|≤m+1,∴4≤m≤6,故选B.6.(2022·洛阳市期中)已知双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列,则其离心率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 由题意知b2=ac,∴c2-a2-ac=0,∴e2-e-1=0,∴e=或e=(舍去).7.(2022·开封市二十二校联考)已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为( )A.B.2C.或2D.或[答案] C[解析] 根据条件可知m2=9,∴m=±3,当m=3时,e==,m=-3时,e=2,所以正确选项为C.-12-\n8.(2022·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)以双曲线-=1(a>0,b>0)中心O(坐标原点)为圆心,焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,过点M作x轴的垂线,垂足恰为OF2的中点,则双曲线的离心率为( )A.-1B.C.+1D.2[答案] C[解析] 由题意知点M的坐标为M(,),代入双曲线方程可得-=1,∵b2=c2-a2,e=,∴e4-8e2+4=0,∴e2=4+2,∴e=+1.故选C.9.(2022·开封四中期中)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8[答案] D[解析] 设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,∴O1在线段OF的中垂线上,又∵⊙O1与抛物线的准线相切,∴O1在抛物线上,∴O1(,p),又圆面积为36π,∴半径为6,∴+p2=36,∴p=8.10.(文)(2022·云南景洪市一中期末)点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25内一条弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.x+y-1=0B.2x+y-3=0C.x-y-3=0D.2x-y-5=0[答案] C[解析] 圆心C(1,0),由条件知PC⊥AB,∴kAB=-=1,∴直线AB的方程为y-(-1)=1×(x-2),即x-y-3=0.(理)(2022·银川九中一模)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2[答案] B[解析] 设圆心C(x0,-x0),则=,∴x0=1,∴圆心C(1,-1),半径r=,方程为(x-1)2+(y+1)2=2.11.(2022·广东揭阳一中期中)曲线+=1与曲线+=1(12<k<16)的( )A.长轴长与实轴长相等-12-\nB.短轴长与虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等[答案] C[解析] 对于椭圆+=1,c=2,对于双曲线-=1,c=(16-k)+(k-12)=4,∴c1=2,故选C.12.(文)(2022·抚顺二中期中)在△ABC中,AB=BC,cosB=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=x2+x2-2x2·(-)=x2,∴|AC|=x,由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c,∴x+x=2a,x=2c,∴c====.(理)(2022·江西师大附中期中)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,则数列{}的前10项和为( )A.B.C.D.2[答案] B[解析] ∵直线y=a1x+m与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,∴直线x+y-d=0经过圆心,∴2+0-d=0,∴d=2,∵直线y=a1x+m与直线x+y-d=0垂直,∴a1=1,a1=2,∴Sn=2n+×2=n(n+1),==-,所以数列{}的前10项和为++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=,所以选B.-12-\n第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·豫南九校联考)已知双曲线3y2-mx2=3m(m>0)的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合,则此双曲线的离心率为________.[答案] 2[解析] 双曲线标准方程为-=1,∴c=,∵抛物线x2=8y的焦点为(0,2),∴=2,∴m=1,∴e=2.14.(2022·遵义航天中学二模)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M、N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是________.[答案] [-,0][解析] 设圆心(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,由弦长公式得,MN=2≥2,故d≤1,即≤1,化简得k(k+)≤0,∴-≤k≤0.15.(文)(2022·泗阳县模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则双曲线-=1的离心率为________.[答案] [解析] ∵两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,∴解得a=5,b=4,∴双曲线方程为-=1,∴c==,∴双曲线-=1的离心率e==.(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.[答案] (1,1+)[解析] ∵双曲线关于x轴对称,∴A、B两点关于x轴对称,∴|F2A|=|F2B|,△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF2F1<45°⇔|AF1|<|F1F2|,不妨设A点在x轴上方.∵F1(-c,0),∴A(-c,),即|AF1|=,又|F1F2|=2c,∴<2c,∴c2-2ac-a2<0,∴e2-2e-1<0,-12-\n∴1-<e<1+,∵e>1,∴1<e<1+.16.(2022·湖北武汉调考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.[答案] 8[解析] 如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·山西大同调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点B(1,0),圆A:(x+1)2+y2=16,动点P在圆A上,线段BP的垂直平分线与AP相交于点Q,设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于E、F两点,求弦长|EF|.[解析] (1)由已知|QP|=|QB|,Q在线段PA上,所以|QA|+|QB|=|AQ|+|QP|=4,所以点Q的轨迹是椭圆,2a=4,a=2,2c=2,c=1,∴b2=3,所以C点的轨迹方程为+=1.(2)直线EF的方程为:y=x-1.由消去y整理得7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=,x1·x2=-,|AB|=·=·=.-12-\n18.(本小题满分12分)(2022·云南省二测)已知抛物线C的方程为y2=4x,斜率为的直线l经过点P(a,0),与抛物线C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点D.(1)当a=12时,求证以AB为直径的圆与直线y=2x+4相切;(2)是否存在实数a,使△ABD是直角三角形?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.[解析] (1)当a=12时,直线l:y=(x-12),即x=2y+12,代入y2=4x中消去x得y2-8y-48=0,∴y1=-4,y2=12,∴x1=4,x2=36,∴A(4,-4),B(36,12),∴以AB为直径的圆的圆心M(20,4),半径r=|AB|=8,圆心M到直线y=2x+4的距离d=8,∵d=r,∴以AB的直径的圆与直线y=2x+4相切.(2)直线l:y=(x-a),∴x=2y+a,代入y2=4x中得y2-8y-4a=0,∴Δ=24+16a>0,∴a>-4,∴y1+y2=8,y1y2=-4a,∴x1+x2=2(y1+y2)+2a=16+2a,∴线段AB的中点N(8+a,4),直线AB的斜率k=,∴线段AB的中垂线方程为y-4=-2(x-8-a),当y=0时,x=10+a,∴D(10+a,0),|AD|=|BD|,∵△ABD为直角三角形,∴∠ADB=,∴AD⊥DB.∵=(2y1-10,y1),=(2y2-10,y2),∴·=0,∴y1y2-4(y1+y2)+20=0,∴-4a-32+20=0,∴a=-3>-4,∴存在a=-3,使△ABD为直角三角形.19.(本小题满分12分)(文)(2022·湖南浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.[解析] (1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),由条件知,解之得∴椭圆C的方程为+=1.(2)①当直线l⊥x轴时,可得A(-1,-),B(-1,),△AF2B的面积为3,不符合题意.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得,(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=,-12-\n可得|AB|=.又圆F2的半径r=,∴△AF2B的面积S=|AB|·r==,化简得,17k4+k2-18=0,得k=±1,∴r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.(理)(2022·大连二十中期中)平面内动点P(x,y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积等于-,若点P的轨迹为曲线E,过点(-1,0)作斜率不为零的直线MN交曲线E于点M、N.(1)求曲线E的方程;(2)求证:AM⊥AN;(3)求△AMN面积的最大值.[解析] (1)设动点P坐标为(x,y),由题意知:x≠±2,由条件得:·=-,化简得+=1.曲线E的方程为+=1,(x≠±2).(2)直线MN斜率不为0,所以可设MN方程为my=x+1,与椭圆方程联立得:(m2+3)y2-2my-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=.=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=++1=0,所以⊥,所以AM⊥AN.(3)△AMN面积为|y1-y2|==,当m=0时面积最大为1.20.(本小题满分12分)(文)(2022·韶关市曲江一中月考)设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.-12-\n[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程,得=1,∴b=4,又e==,则=,∴1-=,∴a=5,∴椭圆C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入椭圆方程得+=1,即x2-3x-8=0,由韦达定理得x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为=,纵坐标为(-3)=-,即所截线段的中点坐标为(,-).(理)(2022·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.[解析] (1)设椭圆方程为+=1,(a>0,b>0),∵c=1,=,∴a=2,b=,∴所求椭圆方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l方程为y=kx+1,则由消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴由=2得x1=-2x2,∴消去x2得()2=,解得k2=,∴k=±,所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.21.(本小题满分12分)(2022·开封四中期中)如图,已知点A(1,)是离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点互不重合.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:直线AB、AD的斜率之和为定值.-12-\n[解析] (1)由题意可得,e==,将点(1,)代入椭圆方程得+=1,又a2=b2+c2,∴a=2,b=,c=,所以椭圆C的方程+=1.(2)证明:设直线BD的方程为y=x+m,又A,B,D三点互不重合,∴m≠0,设D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0.所以Δ=-8m2+64>0⇒-2<m<2.x1+x2=-m①x1x2=②设直线AB,AD的斜率分别为kAB,kAD,则kAD+kAB=+=+=2+m·(*)将①、②式代入(*)整理得,2+m·=2-2=0,所以kAD+kAB=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值0.22.(本小题满分14分)(文)(2022·韶关市十校联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2(其中a>0)上任意一点与点P(0,)的距离等于它到直线y=-1的距离.(1)求抛物线的方程;(2)若点M的坐标为(0,2),N为抛物线上任意一点,是否存在垂直于y轴的直线l,使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由抛物线的定义知P(0,)是其焦点,且=1,∴a=,抛物线方程为y=x2.(2)设N(2x,x2),则MN的中点H的坐标为H(x,1+).设直线l的方程为y=c,则点H到直线l的距离为d=|-c|,∴|MN|2=4x2+(x2-2)2=x4+4,设所求弦长为L,则L2=|MN|2-4d2=x4+4-4(-c)2-12-\n=4x2(c-1)+8c-4c2,若弦长L恒为常数,即L的值与x的值无关,则c=1,L=2.所以存在垂直于y轴的直线l,使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数,直线l的方程为y=1.(理)(2022·武汉市调研)如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m(其中m<2)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.[解析] (1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0,当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即=,化简可得,3x2-y2-3=0,而点(2,±3)也在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为x2-=1(x>1);(2)由消去y并整理得,x2-4mx+m2+3=0(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,∴解得m>1,且m≠2,又∵m<2,∴1<m<2,设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|及方程(*)有xR=2m+,xQ=2m-,∴====-1+,-12-\n由1<m<2,得1<-1+<7,故的取值范围是(1,7).-12-
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