【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题12 综合素质能力测试(含解析)新人教B版
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阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·湖南长沙长郡中学月考)全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则綂U(M∪N)等于( )A.{1,3,5} B.{1,5}C.{1,6}D.{2,4,6}[答案] C[解析] ∵M∪N={2,3,4,5},∴綂U(M∪N)={1,6},故选C.2.(2022·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0<0,x+x0-1<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题[答案] D[解析] “若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0≥0,使x+x0-1≥0”,故B错;命题“若A,则B”的逆否命题是“若綈B,则綈A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p与q中至少有一个为真命题,故选D.3.(文)(2022·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7=( )A.53 B.54 C.55 D.109[答案] C[解析] ∵a1=1,an=an-1+2n,∴a7=(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=2×7+2×6+…+2×2+1=55.(理)(2022·山西大学附中月考)数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则++…+等于( )A. B. C. D.[答案] B[解析] 由条件得,an+1-an=1+n,∴a2-a1=1+1=2,a3-a2=1+2=3,a4-a3=1+3=4,…,an-an-1=1+(n-1)=n,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=,-17-\n∴==2(-),∴++…+=2(1-)+2(-)+…+2(-)=2(1-)=,故选B.4.(文)(2022·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )A.2B. C.4D.2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知,其侧视图矩形的长和宽分别为和2,∴其面积为S=2.(理)(2022·四川巴中市诊断)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )[答案] D[解析] 当几何体上、下两部分都是圆柱时,俯视图为A;当上部为正四棱柱,下部为圆柱时,俯视图为B;当几何体的上部为直三棱柱,其底面为直角三角形,下部为正四棱柱时,俯视图为C;无论何种情形,俯视图不可能为D.5.(文)(2022·长春市十一高中阶段考试)设a=(1,2),b=(2,k),若(2a+b)⊥a,则实数k的值为( )A.-2B.-4 C.-6D.-8[答案] C[解析] 2a+b=2×(1,2)+(2,k)=(4,4+k).∵(2a+b)⊥a,∴(2a+b)·a=(4,4+k)·(1,2)=4+2×(4+k)=0,∴k=-6.(理)(2022·河南八校第一次联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin=,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则·+·=( )A.0 B.6 C.9 D.12[答案] B[解析] ∵sin=,∴cosC=1-2sin2=1-2×()2=-,∴c2=a2+b2-2abcosC=9+9-2×9×(-)=24,-17-\n∴c=2,设AB的中点为M,则CM===.∴·+·=·(+)=(+)·2=2||2=6.6.(2022·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点P,那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为( )A.B. C.D.[答案] A[解析] 在矩形内取一点Q,由点Q分别向AD、AB作垂线,垂足依次为E、F,由S△ABQ=S△ADQ=1知,QF=1,QE=,设直线EQ、FQ分别交BC、CD于M、N,则当点P落在矩形QMCN内时,满足要求,∴所求概率P===.7.(文)(2022·江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图,则输出s的结果是( )-17-\nA.B. C.D.[答案] B[解析] 程序运行过程为:开始→s=0,n=2,n<10成立→s=0+=,n=2+2=4,n<10成立→s=+,n=4+2=6,n<10成立→s=++,n=6+2=8,n<10成立→s=+++,n=8+2=10,n<10不成立,输出s的值后结束,∴s=+++=.(理)(2022·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图,则输出的k的值是( )A.3 B.4 C.5 D.6[答案] C[解析] 解法1:k=1时,k2-5k+4=0,不满足条件;k=2时,k2-5k+4=-2不满足条件;k=3时,k2-5k+4=-2不满足条件;k=4时,k2-5k+4=0不满足条件;k=5时,k2-5k+4=0>0满足条件,此时输出k的值为5.解法2:由k2-5k+4>0得k<1或k>4,∵初值k=1,由“k=k+1”知步长为1,∴k∈N,∴满足k2-5k+4>0的最小k值为5,故当k=5时,满足程序条件,输出k的值.8.(2022·开封市二十二校联考)抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的取值范围是( )A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[1,2][答案] A[解析] 过P作抛物线准线的垂线,垂足为B,则|PF|=|PB|,∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),点A(-1,0),∴=sin∠BAP,设过A的抛物线的切线方程为y=k(x+1),代入抛物线方程可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,∴Δ=(2k2-4)2-4k4=0,-17-\n∴k=±1,sin∠BAP∈[,1].9.(2022·江西省南昌二中月考)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点(包括端点),则·的取值范围是( )A.[1,2]B.[0,1] C.[0,2]D.[-5,2][答案] D[解析] ∵D是边BC上的一点(包括端点),∴可设=λ+(1-λ)(0≤λ≤1).∵∠BAC=120°,AB=2,AC=1,∴·=2×1×cos120°=-1.∴·=[λ+(1-λ)]·(-)=(2λ-1)·-λ2+(1-λ)2=-(2λ-1)-4λ+1-λ=-7λ+2,∵0≤λ≤1,∴(-7λ+2)∈[-5,2],∴·的取值范围是[-5,2].故选D.10.(文)(2022·湖北四校联考)以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( )A.③④ B.①② C.②③ D.②④[答案] A[解析] ①-17-\n该三次函数的导函数的图象为开口向下的抛物线,该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间,该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间,符合要求,正确;②同理分析可知②正确;③从其导函数图象来看,原函数在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减(a为图中虚线处的横坐标),图与题意不符,故③错误;④同理分析可知④错误;故选A.(理)(2022·山东莱芜期中)在下面四个图中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)等于( )A.B.- C.D.-或[答案] B[解析] f′(x)=x2+2ax+a2-1,其图象开口向上,故图形不是(2),(3);由于a≠0,故图形不是(1),∴f′(x)的图象为(4),∴f′(0)=0,∴a=1或-1,由图知a≠1,∴a=-1,∴f(x)=x3-x2+1,∴f(-1)=-,故选B.11.(2022·福建清流一中期中)下列命题中,真命题是( )A.函数f(x)=tan(-2x)的单调递增区间为(-+,+),k∈ZB.命题“∀x∈R,x2-2x>3”的否定是“∃x∈R,x2-2x<3”C.已知z1,z2∈C,若z1,z2为共轭复数,则z1+z2为实数D.x=是函数f(x)=sin(x-)的图象的一条对称轴[答案] C[解析] f(x)=tan(-2x)=-tan(2x-)在其每一个单调区间内都是减函数,故A为假命题;全称命题的否定为存在性命题,“>”的否定为“≤”,故B为假命题;设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,∴z1+z2=2a∈R,故C为真命题;f(x)=sin(x-)的图象的对称轴方程为x-=kπ+,即x=kπ+(k∈Z),∴D为假命题.12.(2022·湖北教学合作联考)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则·的最小值是( )A.-8B.-7 C.-6D.-4[答案] B[解析] 依题意,画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)-17-\n可知其围成的区域是等腰直角三角形,面积为8,由直线y=kx+2恒过点B(0,2),且原点的坐标恒满足y-kx≤2,当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω的面积为6,由于6<7,由此可得k<0.由可得D(,),依题意应有×2×||=1,因此k=-1(k=3舍去),故有D(-1,3),设N(x,y),故由z=·=x-2y,可化为y=x-z,∵<1,∴当直线y=x-z过点D时,截距-z最大,即z取得最小值-7,故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·抚顺二中期中)已知α∈(,π),sinα=,则tan(α-)=________.[答案] -7[解析] ∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=-,∴tanα=-,∴tan(α-)===-7.14.(2022·江西南昌二中月考)若{an}是正项递增等比数列,Tn表示其前n项之积,且T10=T20,则当Tn取最小值时,n的值为________.[答案] 15[解析] 根据T10=T20得,a11·a12·a13·…·a20=1,∵a11·a20=a12·a19=…=a15·a16=1,a15<a16,所以a15<1,a16>1,所以T15最小,所以n的值为15.15.(文)(2022·吉林市摸底)边长是2的正△ABC内接于体积是4π的球O,则球面上的点到平面ABC的最大距离为________.[答案] [解析] 因为球O的体积为4π,即r3=4π,所以r=,设正△ABC的中心为D,连接OD,AD,OA,则OD⊥平面ABC,且OA=,AD=,所以OD==,-17-\n所以球面上的点到平面ABC的最大距离为+r=.(理)(2022·豫南九校联考)若(x+a)6的展开式中x3的系数为160,则xadx的值为________.[答案] [解析] 由条件知Ca3=160,∴a=2,∴xadx=x2dx=x3|=.16.(文)给出下列命题(1)对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0,则綈p:∀x∈R,均有x2+x+1>0;(2)m=3是直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件;(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08;(4)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),则f(2022)=0.其中真命题的序号是________.(把所有真命题的序号都填上)[答案] (3)(4)[解析] (1)“<”的否定应为“≥”,∴(1)错误;(2)两直线互相垂直时,m(m+3)-6m=0,∴m=0或m=3,因此m=3是此二直线垂直的充分不必要条件,故(2)错误;由回归直线过样本点的中心知(3)为真命题;(4)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(2022)=f(4×504)=f(0)=0,∴(4)为真命题.(理)(2022·长春外国语学校期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4),若P(ξ>4)=a,则P(-2≤ξ≤4)=________.[答案] 1-2a[解析] ∵ξ~N(1,4),∴μ=1,若P(ξ>4)=a,则P(-2≤ξ≤4)=1-2a.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·西安市长安中学期中)已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中0<φ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点(,1).(1)求φ的值;(2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值.[解析] (1)∵a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x),∴f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),∴f()=cos(-φ)=1,-17-\n而0<φ<π,∴φ=.(2)由(1)得,f(x)=cos(2x-),于是g(x)=cos[2(x)-],即g(x)=cos(x-).当x∈[0,]时,-≤x-≤,所以≤cos(x-)≤1,即当x=0时,g(x)取得最小值,当x=时,g(x)取得最大值1.18.(本小题满分12分)(文)(2022·韶关市曲江一中月考)等差数列{an}中,a3=3,前7项和S7=28.(1)求数列{an}的公差d;(2)等比数列{bn}中,b1=a2,b2=a4,求数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*).[解析] (1)S7==7a4=28,∴a4=4,又∵a3=3,∴d=a4-a3=1.(2)由(1)知数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴an=1+(n-1)=n,∴b1=2,b2=4,∴数列{bn}的公比q==2,∴Tn===2n+1-2.(理)(2022·开滦二中期中)已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn,(c是不为0的常数,n∈N*),且a1,a2,a3成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)由已知a2=2+c,a3=2+3c,则(2+c)2=2(2+3c),∴c=2,∴an+1=an+2n,n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2×1+2×2+…+2×(n-1)=n2-n+2,n=1时,a1=2也适合上式,因此an=n2-n+2.(2)bn==,则Tn=b1+b2+…+bn=+++…++,-17-\nTn=+++…++,用错位相减法可求得Tn=1-.19.(本小题满分12分)(文)(2022·泗阳县模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=BB1=1,AB1=.(1)求证:平面AB1C⊥平面B1CB;(2)求三棱锥A1-AB1C的体积.[解析] (1)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥AC,又由于AC=BC=BB1=1,AB1=,∴AB=,则由AC2+BC2=AB2可知,AC⊥BC,∴AC⊥平面B1CB,∴平面AB1C⊥平面B1CB.(2)∵BC⊥AC,BC⊥CC1,∴BC⊥平面ACC1A1,∴B到平面ACC1A1的距离d=1,∵BB1∥平面ACC1A1,∴B1到平面A1AC的距离为1,∴三棱锥A1-AB1C的体积VA1-AB1C=VB1-A1AC=×(×1×1)×1=.(理)(2022·天津河北区三模)如图,四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FH∥平面PED;(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小;(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.[解析] (1)证明:因为F,H分别为PB,PC的中点,所以FH∥BC,又BC∥AD,所以FH∥AD.-17-\n又FH⊄平面PED,AD⊂平面PED,所以FH∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB、EB,PC的中点,所以F(1,1,1),G(2,1,),H(0,1,1).所以=(-1,0,),=(-2,0,).设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即,再令y1=1,得n1=(0,1,0),=(2,2,-2),=(0,2,-2),设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则,即,令z2=1,得n2=(0,1,1).所以|cos〈n1,n2〉|==.所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.由=(0,2,-2),则=(0,2λ,-2λ).又因为=+,=(-1,-1,1),-17-\n所以=(-1,2λ-1,1-2λ).因为直线FM与直线PA所成角为60°,=(2,0,-2),所以|cos〈,〉|=,即=,解得λ=.所以=(0,,-),||=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM=.20.(本小题满分12分)(文)(2022·山西大同市调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11月11日的网购金额,所得数据如下表:网购金额(单位:千元)人数频率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为32.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图).(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这200网友中,用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查,若需从这5人中随机选取2人继续访谈,则此2人来自不同群体的概率是多少?[解析] (1)根据题意有:解得∴p=0.4,q=0.25.补全频率分布直方图如图,-17-\n(2)根据题意,网购金额在(1,2]内的人数为×5=3(人),记为a,b,c.网购金额在(4,5]内的人数为×5=2(人),记为A,B.则从这5人中随机选取2人的选法为:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10种.记2人来自不同群体的事件为M,则M中含有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B)共6种.∴P(M)==.(理)(2022·赤峰市统考)某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施:对不使用超市塑料购物袋的顾客,超市给予0.96折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人,其中有12位顾客自己带了购物袋,现从这36人中随机抽取2人.(1)求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率;(2)设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.[解析] (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A,“两人都不享受折扣优惠”为事件B,则P(A)==,P(B)==.因为事件A,B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)据题意,ξ的可能取值为0,1,2.其中P(ξ=0)=P(B)=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)=P(A)=.所以ξ的分布列是:ξ012P所以E(ξ)=0×+1×+2×==.21.(本小题满分12分)(文)(2022·屯溪一中期中)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′-17-\n(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a、b∈R.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.[解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,∵f′(1)=2a,∴3+2a+b=2a,∵f′(2)=-b,∴12+4a+b=-b,∴a=-,b=-3,∴f(x)=x3-x2-3x+1,f′(x)=3x2-3x-3,∴f(1)=-,f′(1)=-3,∴切线方程为y-(-)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.(2)∵g(x)=(3x2-3x-3)e-x,∴g′(x)=(6x-3)e-x+(3x2-3x-3)·(-e-x),∴g′(x)=-3x(x-3)e-x,∴当0<x<3时,g′(x)>0,当x>3时,g′(x)<0,当x<0时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,所以g(x)极小=g(0)=-3,g(x)极大=g(3)=15e-3.(理)(2022·福建清流一中期中)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,猜想gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.[解析] 由题设得,g(x)=(x≥0).(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,猜想gn(x)=.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),则φ′(x)=-=,当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,-17-\n∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恒成立.综上可知,a的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).证明如下:方法一:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则<ln.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,<ln2,结论成立.②假设当n=k时结论成立,即++…+<ln(k+1).那么,当n=k+1时,++…++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.方法二:上述不等式等价于++…+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,n∈N+,则ln>.故有ln2-ln1>,ln3-ln2>,……ln(n+1)-lnn>,-17-\n上述各式相加可得ln(n+1)>++…+,结论得证.方法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而++…+是图中所示各矩形的面积和,∴++…+>dx=(1-)dx=n-ln(n+1),结论得证.22.(本小题满分14分)(文)(2022·长春市十一高中段测)已知椭圆:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为2,离心率为,动点P在直线x=3上,过F2作直线PF2的垂线l,设l交椭圆于Q点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值.[解析] (1)由条件得:解得:a=,c=1,b=,所以椭圆E的方程为:+=1.(2)设P(3,y0),Q(x1,y1),∵PF2⊥F2Q,∴·=0,∴2(x1-1)+y0y1=0,又∵y=2(1-),∴kPQkOQ=·====-.(理)(2022·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆方程;(2)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为k的直线交椭圆于另一点D,交x轴于点E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求k2的值.-17-\n[解析] (1)由已知2c=2,=.解得a=2,c=,∴b2=a2-c2=1,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得过B点的直线方程为y=kx+1,由消去y得(4k2+1)x2+8kx=0,∴xD=-,yD=,依题意k≠0,k≠±.∵|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,∴|BE|2=|BD||DE|,∴===,∵b=1,∴y-yD-1=0,解得yD=,∴=,解得k2=,∴当|BD|,|BE|,|DE|成等比数列时,k2=.-17-
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