【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题1 集合与常用逻辑用语(含解析)新人教B版
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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·山东莱芜期中)已知全集为R,集合A={x|x2-x-2≥0},则∁RA=( )A.{x|x<-1,或x>2} B.{x|x<-1,或x≥2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1≤x≤2}[答案] C[解析] 由x2-x-2≥0得,x≤-1或x≥2,∴A={x|x≤-1或x≥2},∴∁RA={x|-1<x<2}.2.(2022·甘肃会宁二中模拟)设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则( )A.M=NB.MNC.MND.M∩N=∅[答案] B[解析] 解法1:M={x|x=,k∈Z}={…-2,-,-1,-,0,,1,,…},N={x|x=,k∈Z}={…,-,-,-,0,,,,1,…},∴MN.解法2:M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},∵k∈Z,∴k+2能取遍所有整数,2(k+1)只能取遍所有偶数,∴MN.3.(2022·河南开封22校联考)已知集合A={x|2x>},B={x|log2x<1},则A∩B=( )A.(-1,2)B.(1,2)C.(0,2)D.(-1,1)[答案] C[解析] 由2x>得x>-1,∴A={x|x>-1};由log2x<1得0<x<2,∴B={x|0<x<2},∴A∩B={x|0<x<2},选C.4.(2022·娄底市名校联考)“p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵“p∧q”是真命题,∴p与q都是真命题,∴¬p为假命题;由¬p为假命题可知p为真命题,但q的真假性不知道,∴p∧q的真假无法判断,故选A.5.(文)(2022·枣庄市期中)已知命题p:偶函数的图象关于y轴对称,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是( )A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.(¬p)∧qD.p∧(¬q)-11-\n[答案] D[解析] ∵p为真命题,q为假命题,∴p∧(¬q)为真命题,故选D.(理)(2022·福建清流一中期中)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0,q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.(¬p)∧qD.p∧(¬q)[答案] D[解析] 由指数函数的性质知p为真命题,1.5>1,但1.5>2不成立,∴q为假命题,∴p∧(¬q)为真命题.6.(文)(2022·福建宁化一中段测)下列说法不正确的是( )A.“cosα=”是“cos2α=-”的充分不必要条件B.命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,使得x2+x-1≥0C.命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”的逆否命题是真命题D.若p∧q为真命题,则p∨q为假命题[答案] D[解析] cosα=时,cos2α=2cos2α-1=2×()2-1=-,但cosα=-时也有cos2α=-,∴A为真命题;由存在性命题的否定为全称命题,“<”的否定为“≥”,知B为真命题;在△ABC中,A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB,故C为真命题;当p∧q为假命题时,p假或q假,因此p、q中可能一真一假,从而p∨q可能为真,故D不正确.(理)(2022·湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是( )(1)若命题p,q中有一个是假命题,则¬(p∧q)是真命题.(2)在△ABC中,“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件.(3)若C表示复数集,则有∀x∈C,x2+1≥1.A.0 B.1 C.2 D.3[答案] C[解析] (1)∵p、q中有一个假命题,∴p∧q为假命题,∴¬(p∧q)为真命题,∴(1)正确;(2)若C=90°,则cosA=cos(90°-B)=sinB,cosB=cos(90°-A)=sinA,∴cosA+sinA=cosB+sinB,但cosA+sinA=cosB+sinB时,sin(A+45°)=sin(B+45°),∴满足A=B,或A+B=90°,得不出C=90°,故(2)正确;(3)当x=i时,有x2+1=0,故(3)错误,选C.7.(2022·山东滕州一中单元检测)设全集U=R,A={x|-x2-3x>0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x>0}B.{x|-3<x<-1}C.{x|-3<x<0}D.{x|x<-1}[答案] B[解析] 由-x2-3x>0得-3<x<0,阴影部分表示A∩B={x|-3<x<-1},故选B.8.(文)(2022·山西大学附中月考)设x∈R,则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件-11-\nC.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] x=1时,y=2i为纯虚数,z为纯虚数时,x=1,故选C.(理)(2022·濉溪县月考)已知向量a,b都是非零向量,则“=-”是“a+b=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵a,b都是非零向量,a+b=0,∴a与b的方向相反,从而=-;但=-时,显然a与b方向相反,但|a|与|b|不一定相等,从而a+b=0不一定成立.9.(2022·宝安中学、南海中学、普宁一中等七校联考)设集合A={x|x2-3x+2=0},则满足A∪B={0,1,2}的集合B的个数是( )A.1 B.3 C.4 D.6[答案] C[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或2,∴A={1,2},∵A∪B={0,1,2},∴一定有0∈B,由元素1、2与B的关系知满足条件的集合B有22=4个.10.(文)(2022·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件B.命题“∃x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”C.“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D.命题p:“∀x∈R,sinx+cosx≤”,则¬p是真命题[答案] A[解析] a>1时,f(x)=logax为增函数,f(x)=logax(a>0且a≠1)为增函数时,a>1,∴A正确;“<”的否定为“≥”,故B错误;x=-1时,x2+2x+3≠0,x2+2x+3=0时,x无解,故C错误;∵sinx+cosx=sin(x+)≤恒成立,∴p为真命题,从而¬p为假命题,∴D错误.(理)(2022·长春外国语学校期中)“a=0”是“f(x)=为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] a=0时,f(x)=为奇函数;f(x)为奇函数时,由于f(x)的定义域为{x|x≠±1},∴f(0)=0,∴a=0,故选C.11.(文)(2022·抚顺二中期中)下列说法正确的是( )A.命题“∀x∈R,ex>0”的否定是“∃x∈R,ex>0”B.命题“已知x、y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题[答案] B[解析] A显然错误;若x=2且y=1,则x+y=3,∴B正确;如图,在x∈-11-\n[1,2]时,y=x2+2x的图象总在y=ax的图象的上方,但y=x2+2x(1≤x≤2)的最小值不大于y=ax(1≤x≤2)的最大值,故C错;若f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=0或a=-1,故原命题的逆命题为假命题,∴D错误.(理)(2022·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( )A.命题:∃x∈R,使x3+sinx+2<0的否定为:∀x∈R,均有x3+sinx+2<0.B.命题:“若x2=1,则x=1或x=-1”的逆否命题为:若x≠1或x≠-1,则x2≠1C.己知n∈N,则幂函数y=x3n-7为偶函数,且在x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为n=1D.函数y=log2的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m=±1[答案] C[解析] 选项A中,命题:∃x∈R,使x3+sinx+2<0的否定为:∀x∈R,均有x3+sinx+2≥0,故A错误;选项B中,命题:若x2=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x2≠1,故B错误;选项C中,因为幂函数y=x3n-7在x∈(0,+∞)上单调递减,所以3n-7<0,解得n<,又n∈N,所以,n=0,1或2;又y=x3n-7为偶函数,所以,n=1,即幂函数y=x3n-7为偶函数,且在x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为n=1,C正确;选项D中,令y=f(x)=log2,由其图象关于点(1,0)中心对称,得f(x)+f(2-x)=0,即log2+log2=log2=0,=1,整理得:m2+2m-3=0,解得m=1或m=-3,当m=-3时,=-1<0,y=log2无意义,故m=1.所以,函数y=log2图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m=1,D错误.12.(2022·潮阳一中、中山一中、仲元中学联考)对于集合A,如果定义了一种运算“⊕”,使得集合A中的元素间满足下列4个条件:(ⅰ)∀a,b∈A,都有a⊕b∈A;(ⅱ)∃e∈A,使得对∀a∈A,都有e⊕a=a⊕e=a;(ⅲ)∀a∈A,∃a′∈A,使得a⊕a′=a′⊕a=e;(ⅳ)∀a,b,c∈A,都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”:①A={整数},运算“⊕”为普通加法;②A={复数},运算“⊕”为普通减法;③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法.其中可以构成“对称集”的有( )A.①②B.①③C.②③D.①②③[答案] B[解析] ①A={整数},运算“⊕”为普通加法,根据加法运算可知满足4个条件,其中e=0,a、a-11-\n′互为相反数;②A={复数},运算“⊕”为普通减法,不满足4个条件,例如a=3+i,b=2-i,c=1,(a-b)-c=2i,a-(b-c)=2+2i,不满足条件(ⅳ).③A={正实数},运算“⊕”为普通乘法,根据乘法运算可知满足4个条件,其中e=1,a、a′互为倒数.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·庐江二中、巢湖四中联考)已知集合A={0,2,4},则A的子集中含有元素2的子集共有________个.[答案] 4[解析] 含有元素2的子集有{2},{2,0},{2,4},{2,0,4},共4个.14.(文)(2022·北京东城区联考)①命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”;②函数f(x)=2x-x2的零点有2个;③若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=0;④函数y=sinx(x∈[-π,π])的图象与x轴围成的图形的面积是S=sinxdx;⑤若函数f(x)=,在R上是单调递增函数,则实数a的取值范围为(1,8).其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号).[答案] ①③[解析] ①显然正确;②由于f(2)=0,f(4)=0,且f(-1)·f(0)<0,∴f(x)在(-1,0)上存在零点,故②错误;③∵f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立,即|x-a|=|x+a|,∴(x-a)2=(x+a)2,∴ax=0,此式对∀x∈R都成立,故a=0,∴③正确;④函数y=sinx(-π≤x≤π)的图象与x轴围成图形的面积S>0,而定积分-πsinxdx=0,故④错误;⑤∵f(x)=是R上的增函数,∴∴7≤a<8.(理)(2022·合肥八中联考)给出下列四个命题:①∃α,β∈R,α>β,使得tanα<tanβ;②若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈(,),则f(sinθ)>f(cosθ);③在△ABC中,“A>”是“sinA>”的充要条件;④若函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=3,其中所有正确命题的序号是________.[答案] ①④[解析] ①当α=,β=时,tanα<0<tanβ,∴①为真命题;∵f(x)是[-1,1]上的偶函数,在[-1,0]上单调递增,∴在[0,1]上单调递减,又θ∈(,),∴1>sinθ>cosθ>,从而f(sinθ)<f(cosθ),∴②为假命题;-11-\n③当A=时,A>成立,但sinA=,∴③为假命题;④由条件知f′(1)=,f(1)=×1+2=,∴f(1)+f′(1)=3,∴④为真命题.15.(2022·呼和浩特市期中)已知函数f(x)=a2x-2a+1,若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是________.[答案] (,1)∪(1,+∞)[解析] ∵命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,∴命题的否定:“存在实数x∈(0,1),使f(x)=0”是真命题,∴f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,∴(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1.∴实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).16.(文)(2022·辽宁五校协作体期中)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2022成立,若函数g(x)=f(x)+2022x2022有最大值M和最小值m,则M+m=________.[答案] -4028[分析] 函数g(x)用f(x)来定义,要研究g(x)需先考虑f(x),由条件式令y=-x可得到f(x)与f(-x)的关系式,故可转化为对函数奇偶性的讨论,照顾到2022x2022为奇函数,可考虑构造一个奇函数,其最大值M、最小值m,则这个奇函数加一个常数t后,所得新函数的最大值为M+t,最小值为m+t,由于M+m=0,所以新函数的最大值与最小值的和为2t.[解析] 令x=y=0得f(0)=-2022,令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)+2022,∴f(-x)+2022=-(f(x)+2022).令h(x)=f(x)+2022+2022x2022,则h(-x)=f(-x)+2022+2022(-x)2022=-(f(x)+2022+2022x2022)=-h(x),∴h(x)为奇函数,∵g(x)的最大值为M,最小值为m,h(x)=g(x)+2022,∴h(x)的最大值为M+2022,最小值为m+2022,∵h(x)为奇函数,∴(M+2022)+(m+2022)=0,∴M+m=-4028.(理)(2022·安徽省示范高中联考)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对任意P1(x1,y1)∈M,均不存在P2(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M为“好集合”,给出下列五个集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=lnx};③M={(x,y)|y=x2+1};④M={(x,y)|(x-2)2+y2=1};⑤M={(x,y)|x2-2y2=1}.其中所有“好集合”的序号是________.(写出所有正确答案的序号)[答案] ①④⑤-11-\n[解析] x1x2+y1y2=0⇒·=0⇒⊥(O为坐标原点),即OP1⊥OP2.若集合M里存在两个元素P1,P2,使得OP1⊥OP2,则集合M不是“好集合”,否则是.①曲线y=上任意两点与原点连线夹角小于90°(同一支上)或大于90°(两支上),集合M里不存在两个元素P1,P2,使得OP1⊥OP2,则集合M是“好集合”;②如图,函数y=lnx的图象上存在两点A,B,使得OA⊥OB.所以M不是“好集合”;③过原点的切线方程为y=±x,两条切线的夹角大于90°,集合M里存在两个元素P1,P2,使得OP1⊥OP2,则集合M不是“好集合”;④切线方程为y=±x,夹角为60°,集合M里不存在两个元素P1,P2,使得OP1⊥OP2,则集合M是“好集合”;⑤双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为y=±x,两条渐近线的夹角小于90°,集合M里不存在两个元素P1,P2,使得OP1⊥OP2,则集合M是“好集合”.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(文)(2022·山西大学附中月考)已知集合A={x|-3<x<1},B={x|<0}.(1)在区间(-4,4)上任取一个实数x,求“x∈(A∩B)”的概率;(2)设(a,b)为有序实数对,其中a是从集合A中任取的一个整数,b是从集合B中任取的一个整数,求“(b-a)∈(A∪B)”的概率.[解析] (1)由已知B={x|-2<x<3},A∩B={x|-2<x<1},设事件“x∈(A∩B)”的概率为P1,这是一个几何概型,则P1=.(2)因为a,b∈Z,且a∈A,b∈B,所以,基本事件共12个:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).设事件E为“(b-a)∈(A∪B)”,则事件E中包含9个基本事件,事件E的概率P(E)==.(理)(2022·重庆南开中学月考)已知集合A={x|x2-5x+4≤0},集合B={x|2x2-9x+k≤0}.-11-\n(1)求集合A.(2)若B⊆A,求实数k的取值范围.[解析] (1)∵x2-5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4].(2)当B=∅时,Δ=81-8k<0,求得k>.∴当B≠∅时,2x2-9x+k=0的两根均在[1,4]内,设f(x)=2x2-9x+k,则解得7≤k≤.综上,k的取值范围为[7,+∞).18.(本小题满分12分)(文)(2022·重庆南开中学月考)已知命题p:关于x的方程x2-mx-2=0在x∈[0,1]有解;命题q:f(x)=log2(x2-2mx+)在x∈[1,+∞)单调递增;若¬p为真命题,p∨q是真命题,求实数m的取值范围.[解析] 设f(x)=x2-mx-2,∵关于x的方程x2-mx-2=0在x∈[0,1]有解,f(0)=-2<0,∴f(1)≥0,解得m≤-1,由命题q得x2-2mx+>0,在区间[1,+∞)上恒成立,且函数y=x2-2mx+,在区间[1,+∞)上单调递增,根据x2-2mx+>0,在区间[1,+∞)上恒成立,得m<,由函数y=x2-2mx+>0,在区间[1,+∞)上单调递增,得m≤1,∴由命题q得:m<,∵¬p为真命题,p∨q是真命题,得到p假q真,∴m∈(-1,).∴实数m的取值范围是(-1,).(理)(2022·山东省菏泽市期中)已知命题p:关于x的不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:函数f(x)=(5-2m)x是R上的增函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.[解析] 不等式|x-1|>m-1的解集为R,须m-1<0,即p是真命题时,m<1;函数f(x)=(5-2m)x是R上的增函数,须5-2m>1,即q是真命题时,m<2.∵p或q为真命题,p且q为假命题,∴p、q中一个为真命题,另一个为假命题.(1)当p真,q假时,m<1且m≥2,此时无解;(2)当p假,q真时,m≥1且m<2,此时1≤m<2,因此1≤m<2.19.(本小题满分12分)(文)(2022·浙江慈溪市、余姚市期中)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)当c∈R时,解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(用c表示).[解析] (1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,a>0,∴∴-11-\n(2)由(1)得原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,所以当c>2时,所求不等式的解集为{x|2<x<c};当c<2时,所求不等式的解集为{x|c<x<2};当c=2时,所求不等式的解集为∅.(理)(2022·沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.[解析] (1)依题意得:(m-1)2=1,∴m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=0.(2)由(1)知f(x)=x2,当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,∴A=[1,4],B=[2-k,4-k],∵A∪B=A,∴B⊆A,∴∴0≤k≤1.20.(本小题满分12分)(2022·东北育才中学一模)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”.(1)分别求命题p、q为真时实数a的取值范围;(2)¬p是q的什么条件?请说明理由.[解析] (1)命题p为真,即f(x)的定义域是R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,等价于a=-1或解得a≤-1或a>,∴实数a的取值范围为(-∞,-1]∪(,+∞).命题q为真,即f(x)的值域是R,等价于u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域⊇(0,+∞),等价于a=1或解得1≤a≤.∴实数a的取值范围为[1,].(2)由(1)知,¬p:a∈(-1,];q:a∈[1,].而(-1,][1,],∴¬p是q的必要而不充分的条件.21.(本小题满分12分)(2022·长沙市重点中学月考)若正数项数列{an}的前n项和为Sn,且满足=+1,其中首项a1=1.(1)求a2,a3及数列{an}的通项公式an;(2)设bn=,Tn表示数列{bn}的前n项和,若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8×(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围.[解析] ∵=+1,a1=1,∴=2,∴a2=3,同理a3=5.由题意可得-=1,∴数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×1,即Sn=n2,由公式an=得an=∴an=2n-1.-11-\n(2)∵bn===(-),∴Tn=(1-+-+…+-)=.①当n为偶数时,要使不等式λTn<n+8×(-1)n恒成立,即需不等式λ<=2n++17恒成立.∵2n+≥8,等号在n=2时取得.∴此时λ满足λ<25.②当n为奇数时,要使不等式λTn<n+8×(-1)n恒成立,即需不等式λ<=2n--15恒成立.∵2n-随n的增大而增大,∴n=1时2n-取得最小值-6.此时λ需满足λ<-21.∴综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21.22.(本小题满分14分)(文)(2022·湖北教学合作联考)已知集合U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0},函数y=lg的定义域为集合B.(1)若a=,求集合A∩(∁UB);(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.[解析] (1)集合A={x|2<x<3},因为a=.所以函数y=lg=lg,由>0,可得集合B={x|<x<}.∁UB={x|x≤或x≥},故A∩(∁UB)={x|≤x<3}.(2)因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件,即A⊆B,由A={x|2<x<3},而集合B应满足>0,因为a2+2-a=(a-)2+>0,故B={x|a<x<a2+2},依题意就有:,即a≤-1或1≤a≤2,-11-\n所以实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,2].(理)(2022·呼和浩特市期中)已知函数f(x)=x3-ax2+x+2.(1)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(2)设f(x)的导函数为f′(x),若∃α∈(,),使f′(sinα)=f′(cosα)成立,求a的取值范围.[解析] (1)f′(x)=2x2-ax+1,∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立,∴Δ≤0,即a2-8≤0,解得-2≤a≤2.(2)由于f′(x)=2x2-ax+1的图象关于直线x=对称,又α∈(,)时sinα>cosα,∃α∈(,),使f′(sinα)=f′(cosα)成立,所以=,即a=2(sinα+cosα)=2sin(α+),由于α∈(,),则<α+<,则<sin(α+)<1,故有a∈(2,2).-11-
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