【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题1 集合与常用逻辑用语（含解析）新人教A版

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·江西省三县联考)已知集合A＝{x∈R|2x－3≥0}，集合B＝{x∈R|x2－3x＋2<0}，则A∩B＝(　　)A．{x|x≥}　　　　　B．{x|≤x<2}C．{x|1<x<2}　D．{x|<x<2}[答案]　B[解析]　A＝{x|x≥}，B＝{x|1<x<2}，∴A∩B＝{x|≤x<2}．2．(2022·湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是(　　)(1)若命题p，q中有一个是假命题，则¬(p∧q)是真命题．(2)在△ABC中，“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的必要不充分条件．(3)若C表示复数集，则有∀x∈C，x2＋1≥1.A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3[答案]　C[解析]　(1)∵p、q中有一个假命题，∴p∧q为假命题，∴¬(p∧q)为真命题，∴(1)正确；(2)若C＝90°，则cosA＝cos(90°－B)＝sinB，cosB＝cos(90°－A)＝sinA，∴cosA＋sinA＝cosB＋sinB，但cosA＋sinA＝cosB＋sinB时，sin(A＋45°)＝sin(B＋45°)，∴满足A＝B，或A＋B＝90°，得不出C＝90°，故(2)正确；(3)当x＝i时，有x2＋1＝0，故(3)错误，选C．3．(文)(2022·文登市期中)已知集合A＝{x|log4x<1}，B＝{x|x≥2}，则A∩(∁RB)＝(　　)A．(－∞，2)　B．(0,2)C．(－∞，2]　D．[2,4)[答案]　B[解析]　∵A＝{x|log4x<1}＝{x|0<x<4}，B＝{x|x≥2}，∴∁RB＝{x|x<2}，所以A∩(∁RB)＝(0,2)，故选B．(理)(2022·河南开封22校联考)已知集合A＝{x|2x>}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝(　　)A．(－1,2)　B．(1,2)C．(0,2)　D．(－1,1)[答案]　C[解析]　由2x>得x>－1，∴A＝{x|x>－1}；由log2x<1得0<x<2，∴B＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|0<x<2}，选C．4．(2022·豫南九校联考)已知实数集R为全集，集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，B＝{y|y＝}，则(∁RA)∩B＝(　　)A．(－∞，1]　B．(0,1)C．[0,1]　D．(1,2]-10-\n[答案]　C[解析]　A＝{x|x>1}，B＝{y|0≤y≤2}，∴∁RA＝{x|x≤1}，(∁RA)∩B＝{x|0≤x≤1}，故选C．5．(2022·江西临川十中期中)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(　　)A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件　D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C．6．(2022·娄底市名校联考)“p且q是真命题”是“非p为假命题”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　∵“p∧q”是真命题，∴p与q都是真命题，∴¬p为假命题；由¬p为假命题可知p为真命题，但q的真假性不知道，∴p∧q的真假无法判断，故选A．7．(2022·濉溪县月考)已知向量a，b都是非零向量，“＝－”是“a＋b＝0”的(　　)A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件　D．既不充分也不必要条件[答案]　B[解析]　∵a，b都是非零向量，a＋b＝0，∴a与b的方向相反，从而＝－；但＝－时，显然a与b方向相反，但|a|与|b|不一定相等，从而a＋b＝0不一定成立．8．(文)(2022·山东滕州一中单元检测)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)A．{x|x>0}　B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0}　D．{x|x<－1}[答案]　B[解析]　由－x2－3x>0得－3<x<0，阴影部分表示A∩B＝{x|－3<x<－1}，故选B．(理)(2022·江西都昌一中月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，则下图中的阴影部分表示(　　)A．{2,4}B．{1,3}C．{5}D．{2,3,4,5}[答案]　C[解析]　阴影部分在集合B中，不在集合A中，故阴影部分为B∩(∁UA)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C．-10-\n9．(2022·安徽示范高中联考)设a∈R，则“a＝1”是“l1：直线ax＋y－1＝0与直线l2：x－ay－3＝0垂直”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　当a＝0时，l1⊥l2，当a＝1时，l1⊥l2，∴选A．10．(文)(2022·韶关市十校联考)命题“∀x∈R，ex－x＋1≥0”的否定是(　　)A．∀x∈R，ex－x＋1<0B．∃x∈R，ex－x＋1≥0C．∀x∈R，ex－x＋1>0D．∃x∈R，ex－x＋1<0[答案]　D[解析]　全称命题的否定为特称命题，“≥”的否定为“<”，故选D．(理)(2022·庐江二中、巢湖四中联考)下列说法错误的是(　　)A．若p：∃x∈R，x2－x＋1＝0，则¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0B．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件C．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx＝1，q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则“p∧(¬q)”为假命题[答案]　B[解析]　特称命题的否定为全称命题，“＝”的否定为“≠”，∴A正确；sinθ＝时，θ不一定为30°，例如θ＝150°，但θ＝30°时，sinθ＝，∴B应是必要不充分条件，故B错；C显然正确；当x＝0时，cosx＝1，∴p真；对任意x∈R，x2－x＋1＝(x－)2＋>0，∴q真，∴p∧(¬q)为假，故D正确．11．(2022·黄冈中学检测)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是(　　)A．M＝{(x，y)|y＝}B．M＝{(x，y)|y＝cosx}C．M＝{(x，y)|y＝x2－2x＋2}D．M＝{(x，y)|y＝log2(x－1)}[答案]　B[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0知OA⊥OB，由理想集合的定义知，对函数y＝f(x)图象上任一点A，在图象上存在点B，使OA⊥OB，对于函数y＝，图象上点A(1,1)，图象上不存在点B，使OA⊥OB；对于函数y＝x2－2x＋2图象上的点A(1,1)，在其图象上也不存在点B，使OA⊥OB；对于函数y＝log2(x－1)图象上的点A(2,0)，在其图象上不存在点B，使OA⊥OB；而对于函数y＝cosx，无论在其图象上何处取点A，总能在其位于区间[－，]的图象上找到点B，使OA⊥OB，故选B．12．(文)(2022·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是(　　)A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx[答案]　B-10-\n[解析]　∵sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，>，∴不存在x∈R，使sinx＋cosx＝成立，故A错；令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，∴x>0时，f(x)>0恒成立，即ex>x＋1对∀x∈(0，＋∞)都成立，故B正确；在同一坐标系内作出y＝2x与y＝3x的图象知，C错误；当x＝时，sinx＝＝cosx，∴D错误，故选B．(理)(2022·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是(　　)A．命题：∃x∈R，使x3＋sinx＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2<0.B．命题：“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：若x≠1或x≠－1，则x2≠1C．己知n∈N，则幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1D．函数y＝log2的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝±1[答案]　C[解析]　A：命题：∃x∈R，使x3＋sinx＋2＜0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2≥0，故A错误；B：命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B错误；C：因为幂函数y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n－7＜0，解得n＜，又n∈N，所以，n＝0,1或2；又y＝x3n－7为偶函数，所以，n＝1，即幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1，C正确；D：令y＝f(x)＝log2，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，即log2＋log2＝log2＝0，＝1，整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，当m＝－3时，＝－1＜0，y＝log2无意义，故m＝1.所以，函数y＝log2图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝1，D错误．第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2022·高州四中质量检测)已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．[答案]　(－∞，－2)[解析]　由条件知∴m<－2.14．(2022·庐江二中、巢湖四中联考)已知集合A＝{0,2,4}，则A的子集中含有元素2的子集共有________个．[答案]　4[解析]　含有元素2的子集有{2}，{2,0}，{2,4}，{2,0,4}，共4个．-10-\n15．(文)(2022·银川九中一模)给出下列命题：①已知a，b都是正数，且>，则a<b；②已知f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，f′(x)≥0，则f(1)<f(2)一定成立；③命题“∃x∈R，使得x2－2x＋1<0”的否定是真命题；④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]　①②③[解析]　①∵a，b是正数，∴a＋1>0，b＋1>0，∵>，∴b(a＋1)>a(b＋1)，∴b>a，即a<b，∴①正确；②∵对任意x∈R，f′(x)≥0，∴f(x)在R上为增函数，∴f(1)<f(2)，∴②正确；③“∃x∈R，使得x2－2x＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”，∵x∈R时，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立，∴③正确；④当x≤1且y≤1时，x＋y≤2成立；当x＝3，y＝－2时，满足x＋y≤2，∴由“x＋y≤2”推不出“x≤1且y≤1”，∴④错误．(理)(2022·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB，则B＝；②设a，b是两个非零向量且|a·b|＝|a||b|，则存在实数λ，使得b＝λa；③方程sinx－x＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a，b∈R且a3－3b>b3－3a，则a>b；其中正确的是________．[答案]　①②③④[解析]　∵bsinA＝acosB，∴sinBsinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB＝cosB，∵B∈(0，π)，∴B＝，故①正确；∵|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴a与b同向或反向，∴存在实数λ，使b＝λa，故②正确；由于函数y＝sinx的图象与直线y＝x有且仅有一个交点，故③正确；∵(a3－3b)－(b3－3a)＝(a3－b3)＋3(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2＋3)>0，∵a2＋ab＋b2＋3>0，∴a－b>0，∴a>b，故④正确．16．(文)(2022·福建文，16)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R.其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)[答案]　①②③[解析]　由(1)知T是定义域为S的函数y＝f(x)的值域；由(2)知f(x)为增函数，因此对于集合A、B，只要能够找到一个增函数y＝f(x)，其定义域为A，值域为B即可．对于①，A＝N，B＝N*，可取f(x)＝x＋1，(x∈A)；-10-\n对于②，A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}，可取f(x)＝x－(x∈A)；对于③，A＝{x|0<x<1}，B＝R，可取f(x)＝tan(x－)π(x∈A)．(理)(2022·安徽省示范高中联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对任意P1(x1，y1)∈M，均不存在P2(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M为“好集合”，给出下列五个集合：①M＝{(x，y)|y＝}；②M＝{(x，y)|y＝lnx}；③M＝{(x，y)|y＝x2＋1}；④M＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＝1}；⑤M＝{(x，y)|x2－2y2＝1}．其中所有“好集合”的序号是________．(写出所有正确答案的序号)[答案]　①④⑤[解析]　x1x2＋y1y2＝0⇒·＝0⇒⊥(O为坐标原点)，即OP1⊥OP2.若集合M里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M不是“好集合”，否则是．①曲线y＝上任意两点与原点连线夹角小于90°(同一支上)或大于90°(两支上)，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”；②如图，函数y＝lnx的图象上存在两点A，B，使得OA⊥OB．所以M不是“好集合”；③过原点的切线方程为y＝±x，两条切线的夹角大于90°，集合M里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M不是“好集合”；④切线方程为y＝±x，夹角为60°，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”；⑤双曲线x2－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线的夹角小于90°，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)-10-\n17．(本小题满分12分)(2022·重庆南开中学月考)已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，集合B＝{x|2x2－9x＋k≤0}．(1)求集合A．(2)若B⊆A，求实数k的取值范围．[解析]　(1)∵x2－5x＋4≤0，∴1≤x≤4，∴A＝[1,4]．(2)当B＝∅时，Δ＝81－8k＜0，求得k＞.∴当B≠∅时，2x2－9x＋k＝0的两根均在[1,4]内，设f(x)＝2x2－9x＋k，则解得7≤k≤.综上，k的取值范围为[7，＋∞)．18．(本小题满分12分)(文)(2022·重庆南开中学月考)已知命题p：关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解；命题q：f(x)＝log2(x2－2mx＋)在x∈[1，＋∞)单调递增；若¬p为真命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．[解析]　设f(x)＝x2－mx－2，∵关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解，f(0)＝－2<0，∴f(1)≥0，解得m≤－1，由命题q得x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，且函数y＝x2－2mx＋，在区间[1，＋∞)上单调递增，根据x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，得m＜，由函数y＝x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上单调递增，得m≤1，∴由命题q得：m＜，∵¬p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，∴m∈(－1，)．∴实数m的取值范围是(－1，)．(理)(2022·山东滕州一中检测)设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数，命题q：函数g(x)＝x2－4x＋3，x∈[0，a]的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．[解析]　命题p真⇔0<a－<1⇔<a<，命题q真⇔2≤a≤4，“p且q”为假，“p或q”为真，则p，q一真一假，若p真q假，得<a<2，若p假q真，得≤a≤4.综上所述，a的取值范围为{a|<a<2或≤a≤4}．19．(本小题满分12分)(2022·沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．-10-\n[解析]　(1)依题意得：(m－1)2＝1，∴m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)知f(x)＝x2，当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴∴0≤k≤1.20．(本小题满分12分)(文)(2022·东北育才中学一模)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，设命题p：“f(x)的定义域为R”；命题q：“f(x)的值域为R”．(1)分别求命题p、q为真时实数a的取值范围；(2)¬p是q的什么条件？请说明理由．[解析]　(1)命题p为真，即f(x)的定义域是R，等价于(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立，等价于a＝－1或解得a≤－1或a>，∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪(，＋∞)．命题q为真，即f(x)的值域是R，等价于u＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的值域⊇(0，＋∞)，等价于a＝1或解得1≤a≤.∴实数a的取值范围为[1，]．(2)由(1)知，¬p：a∈(－1，]；q：a∈[1，]．而(－1，][1，]，∴¬p是q的必要而不充分条件．(理)(2022·马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(¬p)∧q为真，试求实数m的取值范围．[解析]　对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，对命题q：|x1－x2|＝＝对a∈[－1,1]有≤3，∴m2＋5m－3≥3⇒m≥1或m≤－6.若(¬p)∧q为真，则p假q真，∴∴m>1.21．(本小题满分12分)(2022·河北冀州中学期中)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁RA，求a的取值范围．[解析]　(1)由于－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，当x＋1>0时，y≥2－1＝1；当x＋1<0时，y≤－2－1＝－3.∴B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)∵∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax－)(x＋4)≤0，知a≠0，-10-\n当a>0时，由(ax－)(x＋4)≤0，得C＝[－4，]，不满足C⊆∁RA；当a<0时，由(ax－)(x＋4)≤0，得C＝(－∞，－4]∪[，＋∞)，欲使C⊆∁RA，则≥2，解得：－≤a<0或0<a≤，又a<0，所以－≤a<0，综上所述，所求a的取值范围是[－，0)．22．(本小题满分14分)(文)(2022·湖北教学合作联考)已知集合U＝R，集合A＝{x|(x－2)(x－3)<0}，函数y＝lg的定义域为集合B．(1)若a＝，求集合A∩(∁UB)；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．[解析]　(1)集合A＝{x|2<x<3}，因为a＝.所以函数y＝lg＝lg，由>0，可得集合B＝{x|<x<}．∁UB＝{x|x≤或x≥}，故A∩(∁UB)＝{x|≤x<3}．(2)因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B，由A＝{x|2<x<3}，而集合B应满足>0，因为a2＋2－a＝(a－)2＋>0，故B＝{x|a<x<a2＋2}，依题意就有：，即a≤－1或1≤a≤2，所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2].(理)(2022·湖北省百所重点中学联考)已知函数f(x)＝(m≠0)是定义在R上的奇函数．(1)若m>0，求f(x)在(－m，m)上递增的充要条件；(2)若f(x)≤sinθcosθ＋cos2θ＋－对任意的实数θ和正实数x恒成立，求实数m的取值范围．-10-\n[解析]　(1)∵函数f(x)＝(m≠0)是定义在R上的奇函数．∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝0，∴f(x)＝.∴f′(x)＝＝，∵m＞0，∴－m＜0，由f′(x)＞0可得x2－2＜0，解得－＜x＜，即f(x)的递增区间是(－，)，由题意只需(－m，m)⊆(－，)，∴0＜m≤，∴f(x)在(－m，m)上递增的充要条件是0＜m≤.(2)设g(x)＝sinθcosθ＋cos2θ＋－，∵f(x)≤sinθcosθ＋cos2θ＋－对任意的实数θ和正实数x恒成立，∴f(x)≤g(x)min恒成立，∵g(x)＝sinθcosθ＋cos2θ＋－＝sin2θ＋＋－＝sin2θ＋cos2θ＋＝sin(2θ＋)＋，∴g(x)min＝－＋＝，∴只需f(x)≤，即≤，∵x＞0，∴只需≤，即m≤(x＋)恒成立，而(x＋)≥×2＝2，当且仅当x＝时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]．-10-