【走向高考】2022届高三数学一轮阶段性测试题12 综合素质能力测试(含解析)新人教A版
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阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(文)(2022·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件[答案] B[解析] 由|x-1|≥1得x≥2或x≤0,∴A={x|x≥2或x≤0},由log2x>1得x>2,∴B={x|x>2},∵BA,∴选B.(理)(2022·福州市八县联考)已知函数y=lg(4-x)的定义域为A,集合B={x|x<a},若P:“x∈A”是Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A.a≥4 B.a≤4C.a>4 D.a<4[答案] C[解析] A={x|x<4},B={x|x<a},∵P是Q的充分不必要条件,∴AB,∴a>4,故选C.2.(2022·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0<0,x+x0-1<0”C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题[答案] D[解析] “若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“∀x≥0,x2+x-1<0”的否定是“∃x0≥0,使x+x0-1≥0”,故B错;命题“若A,则B”的逆否命题是“若綈B,则綈A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p与q中至少有一个为真命题,故选D.3.(文)(2022·北京东城区联考)设a=log2,b=log23,c=()0.3,则( )A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c[答案] B[解析] a=log2<log1=0,b=log23>log22=1,0<c=()0.3<()0=1,∴a<c<b,选B.(理)(2022·三亚市一中月考)若函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(2-x),且当x≠1时其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x),若1<a<2,则( )A.f(2a)<f(2)<f(log2a)B.f(log2a)<f(2)<f(2a)C.f(2)<f(log2a)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(2)[答案] B[解析] ∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∵xf′(x)>f′(x),∴f′(x)(x-1)>0,∴x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∵1<a<2,∴-17-\n2<<4,∴1<log2<2,又2<2a<4,∴1<log2<2<2a,∴f(log2)<f(2)<f(2a),∵f(log2)=f(2-log2a)=f(log2a),∴f(log2a)<f(2)<f(2a).4.(2022·三亚市一中月考)函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数的解析式为( )A.y=sin(x+) B.y=sin(x-)C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)[答案] C[解析] 由图知,=-=,∴T==π,∴ω=2,由y=sin(2x+φ)过(,-1)点得sin(+φ)=-1,∵|φ|<,∴φ=,故选C.5.(2022·河南省实验中学期中)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )A.1 B.2 C.3 D.4[答案] A[解析] ==×=1.6.(文)(2022·辽宁师大附中期中)已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A、B,若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,则·的取值范围为( )A.(0,] B.[-,0)C.(-,0) D.[-1,0)[答案] B-17-\n[解析] 设P(x,y),则x2+y2<1,∵|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,∴|PO|2=|PA|·|PB|,∵A(-1,0),B(1,0),∴x2+y2=·,两边平方得,x2-y2=,∵-1<y<1,∴x2+y2-1=2y2-∈[-,),∴-≤x2+y2-1<0,∴·=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2+y2-1∈[-,0),故选B.(理)(2022·河南八校第一次联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin=,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则·+·=( )A.0 B.6 C.9 D.12[答案] B[解析] ∵sin=,∴cosC=1-2sin2=1-2×()2=-,∴c2=a2+b2-2abcosC=9+9-2×9×(-)=24,∴c=2,设AB的中点为M,则CM===.∴·+·=·(+)=(+)·2=2||2=6.7.(文)(2022·北京朝阳区期末)执行如图所示的程序框图,输出的k值为( )A.6 B.24-17-\nC.120 D.720[答案] C[解析] 根据框图的循环结构可知,循环过程依次为:k=1,i=2,k=1×2=2;i=2+1=3;k=2×3=6,i=3+1=4,k=6×4=24,i=4+1=5,k=24×5=120,i=5+1=6>5,跳出循环,输出结果k=120.故C正确.(理)(2022·抚顺市六校联合体期中)执行下面的程序框图,则输出的S的值是( )A.39 B.21C.81 D.102[答案] D[解析] 程序运行过程为:n=1,S=0,n<4成立,S=0+1×31=3,n=1+1=2,n<4成立,S=3+2×32=21,n=2+1=3,n<4仍成立,S=21+3×33=102,n=3+1=4,此时n<4不成立,跳出循环,输出S的值102后结束,选D.8.(2022·开封市二十二校联考)抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的取值范围是( )A.[,1] B.[,1]C.[,] D.[1,2][答案] A[解析] 过P作抛物线准线的垂线,垂足为B,则|PF|=|PB|,∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),点A(-1,0),∴=sin∠BAP,设过A的抛物线的切线方程为y=k(x+1),代入抛物线方程可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,∴Δ=(2k2-4)2-4k4=0,∴k=±1,sin∠BAP∈[,1].9.(2022·江西修水一中、永修一中联考)已知命题p:“a>0,b>0”是“方程ax2+by2=1”表示椭圆的充要条件;q:在复平面内,复数所表示的点在第二象限;r:直线l⊥平面α,平面α∥平面β,则直线l⊥平面β;-17-\ns:同时抛掷两枚相同的均匀硬币,出现一正一反的概率为,则下列复合命题中正确的是( )A.p且q B.r或sC.非r D.q或s[答案] B[解析] 若方程ax2+by2=1表示椭圆,则a>0,b>0;当a=b>0时,方程ax2+by2=1不表示椭圆,∴p为假命题;∵==-i表示的点在虚轴上,∴q为假命题;r显然为真命题;同时抛掷两枚相同均匀硬币,有四种不同结果,出现一正一反的情形有两种,∴p=,∴s为假命题.∴p且q为假,r或s为真,非r为假,q或s为假,选B.10.(文)(2022·韶关市曲江一中月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则f(2022)-f(2022)的值为( )A.- B.C.2 D.-2[答案] A[解析] ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,又∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(2022)=f(0)=0,又x∈(-2,0)时,f(x)=2x,∴f(-1)=,∴f(2022)=f(-1)=,∴f(2022)-f(2022)=-,选A.(理)(2022·杭州七校联考)已知函数f(x)=,若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是( )A.(2,2022) B.(2,2022)C.(3,2022) D.(3,2022)[答案] A[解析] y=log2022x,当x=2022时,y=1;y=-4x2+4x,当x=时,y=1;又a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则0<a<,<b<1,1<c<2022,且a+b=1,∴2<a+b+c<2022,故选A.11.(2022·宝鸡市质检)设双曲线--17-\n=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过A(a,0)、B(0,b)两点,若原点O到l的距离为,则双曲线的离心率为( )A.或2 B.2C.或 D.[答案] A[解析] 由题意,直线l的方程为:+=1,即bx+ay-ab=0,∴原点O到l的距离为d==,∵原点O到l的距离为,∴=,∴3e4-16e2+16=0,∴e2=4或e2=,∴e=2或e=,故选A.12.(2022·湖北教学合作联考)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则·的最小值是( )A.-8 B.-7C.-6 D.-4[答案] B[解析] 依题意,画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形,面积为8,由直线y=kx+2恒过点B(0,2),且原点的坐标恒满足y-kx≤2,当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω的面积为6,由于6<7,由此可得k<0.由可得D(,),依题意应有×2×||=1,因此k=-1(k=3舍去),故有D(-1,3),设N(x,y),故由z=·=x-2y,可化为y=x-z,∵<1,∴当直线y=x-z过点D时,截距-z最大,即z取得最小值-7,故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)13.(2022·北京东城区联考)在△ABC中,若a=,b=3,B=,则c=________.[答案] -17-\n[解析] ∵B=>,b>a,∴三角形只有一解.由正弦定理得,=,即=,∴sinA=,∴A=,∴c2=a2+b2-2abcosC=3+9-6cos(π--)=12-6cos=3,∴c=.14.(文)(2022·长沙市重点中学月考)阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为________.[答案] 4[解析] 输入x=-25,|x|=25>1成立,x=-1=4,|x|=4>1成立,x=-1=1>1不成立,x=3×1+1=4,输出x的值4后结束.(理)(2022·豫南九校联考)若(x+a)6的展开式中x3的系数为160,则xadx的值为________.[答案] [解析] 由条件知Ca3=160,∴a=2,∴xadx=x2dx=x3|=.15.(文)(2022·合肥八中联考)已知△OFQ的面积为S,且·=1,若<S<,则,夹角θ的取值范围是________.[答案] (,)[解析] ∵S=||||sinθ,1=||||cosθ,-17-\n∴S=tanθ,由已知<S<,∴1<tanθ<,∴<θ<.(理)(2022·长沙市重点中学月考)如图,矩形ORTM内放置5个大小相同且边长为1的正方形,其中A、B、C、D都在矩形的边上,则·=________.[答案] -3[解析] ·=(++)·(++)=·+·+·+·+·+·+·+·+·=0-4+0+2+0+1+0-2+0=-3.16.(文)(2022·吉林市摸底)设变量x、y满足约束条件则z=x+y的最大值是________.[答案] 5[解析] 画出约束条件的可行域,由可行域知,目标函数z=x+y过点A(2,3)时z取最大值,最大值为5.-17-\n(理)(2022·吉林省实验中学一模)设x、y满足约束条件向量a=(y-2x,m),b=(1,-1),且a∥b,则m的最小值为________.[答案] -6[解析] 作出可行域如图,∵a∥b,∴(y-2x)×(-1)=m,即m=2x-y,作直线l0:y=2x,平移l0得直线l:y=2x-m,当l经过可行域内点A(1,8)时,m取最小值,mmin=2×1-8=-6.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)(2022·文登市期中)已知a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<2π.(1)若a⊥b,求|a-2b|的值;(2)设c=(2,0),若a+2b=c,求α、β的值.[解析] (1)∵a⊥b,∴a·b=0,又∵a2=|a|2=4cos2α+4sin2α=4,b2=|b|2=cos2β+sin2β=1,∴|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=4+4=8,∴|a-2b|=2.(2)∵a+2b=(2cosα+2cosβ,2sinα+2sinβ)=(2,0),∴即两边分别平方再相加得:1=2-2cosβ,∴cosβ=,∴cosα=,∵0<α<β<2π且sinα+sinβ=0,∴α=,β=.-17-\n18.(本小题满分12分)(文)(2022·浙江台州中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4,当n≥2时,满足+=2an.(1)求证:{}为等差数列;(2)求++…+的值.[解析] (1)+=2an=2(Sn-Sn-1)=2(+)(-)(n≥2),故有-=(n≥2),∴{}是等差数列.(2)由(1)知=+(n-4)·=,∴Sn=,∴an=Sn-Sn-1=(n≥2),当n=1时,a1=S1=,也成立.∴an=,∴原式=(-+-+…+-)=(-)=2(4-)=.(理)(2022·泸州市一诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=6,S10=110.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}前n项和为Tn,且Tn=1-()an,令cn=anbn(n∈N*).求数列{cn}的前n项和Rn.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=6,S10=110,∴a1+2d=6,2a1+9d=22,∴a1=2,d=2,所以数列{an}的通项公式an=2+(n-1)·2=2n.(2)因为Tn=1-()an=1-()2n=1-()n,当n=1时,b1=T1=,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=1-()n-1+()n-1=()n,且n=1时满足bn=()n,∴数列{bn}的通项公式为bn=()n.∴cn==,∴Rn=+++…+,∴Rn=+++…+,两式相减得:Rn=+++…+--17-\n=-=2-,∴Rn=4-.19.(本小题满分12分)(文)(2022·北京市海淀区期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PB,且侧面PAB⊥平面ABCD,E是棱AB的中点.(1)求证:CD∥平面PAB;(2)求证:PE⊥AD;(3)若CA=CB,求证:平面PEC⊥平面PAB.[解析] (1)因为底面ABCD是菱形,所以CD∥AB.又因为CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB.(2)因为PA=PB,点E是棱AB的中点,所以PE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABCD,因为AD⊂平面ABCD,所以PE⊥AD.(3)因为CA=CB,点E是棱AB的中点,所以CE⊥AB.由(2)可得PE⊥AB,所以AB⊥平面PEC,又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PEC.(理)(2022·天津河东区一模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC1的中点,过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.-17-\n(1)求证:EG∥D1F;(2)求二面角C1-D1E-F的余弦值;(3)求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1-DCFD1的体积.(棱台体积计算公式:V=H(S上+S下+)其中H是高,S上和S下分别是上下底面的面积.)[解析] (1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F,∴EG∥D1F.(2)如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),∴=(2,1,0),=(0,2,-1),设平面D1EGF的法向量为n=(x,y,z),则由n·=0,和n·=0,得,取x=1,得y=-2,z=-4,∴n=(1,-2,-4),又平面ABCD的法向量为=(0,0,2),故cos〈,n〉===-,∴截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为.(3)设所求几何体ABGEA1-DCFD1的体积为V,∵△EGB1~△D1FC1,D1C1=2,C1F=1,-17-\n∴EB1=D1C1=1,B1G=C1F=,∴S△EGB1=EB1·B1G=×1×=,S△D1FC1=D1C1·C1F=×2×1=1,故V棱台D1FC1-EGB1=(S△EGB1++S△D1FC1)=(++1)=,∴V=V正方体-V棱台D1FC1-EGB1=23-=.20.(本小题满分12分)(2022·屯溪一中期中)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a、b∈R.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.[解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,∵f′(1)=2a,∴3+2a+b=2a,∵f′(2)=-b,∴12+4a+b=-b,∴a=-,b=-3,∴f(x)=x3-x2-3x+1,f′(x)=3x2-3x-3,∴f(1)=-,f′(1)=-3,∴切线方程为y-(-)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.(2)∵g(x)=(3x2-3x-3)e-x,∴g′(x)=(6x-3)e-x+(3x2-3x-3)·(-e-x),∴g′(x)=-3x(x-3)e-x,∴当0<x<3时,g′(x)>0,当x>3时,g′(x)<0,当x<0时,g′(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,所以g极小(x)=g(0)=-3,g极大(x)=g(3)=15e-3.21.(本小题满分12分)(文)(2022·山西大同市调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11月11日的网购金额,所得数据如下表:网购金额(单位:千元)人数频率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08-17-\n(5,6]140.07合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为32.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图).(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这200网友中,用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查,若需从这5人中随机选取2人继续访谈,则此2人来自不同群体的概率是多少?[解析] (1)根据题意有:解得∴p=0.4,q=0.25.补全频率分布直方图如图,(2)根据题意,网购金额在(1,2]内的人数为×5=3(人),记为a,b,C.网购金额在(4,5]内的人数为×5=2(人),记为A,B.则从这5人中随机选取2人的选法为:(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)共10种.记2人来自不同群体的事件为M,则M中含有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B)共6种.∴P(M)==.-17-\n(理)(2022·赤峰市统考)某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施:对不使用超市塑料购物袋的顾客,超市给予0.96折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人,其中有12位顾客自己带了购物袋,现从这36人中随机抽取2人.(1)求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率;(2)设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.[解析] (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A,“两人都不享受折扣优惠”为事件B,则P(A)==,P(B)==.因为事件A,B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)据题意,ξ的可能取值为0,1,2.其中P(ξ=0)=P(B)=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)=P(A)=.所以ξ的分布列是:ξ012P所以E(ξ)=0×+1×+2×==.22.(本小题满分14分)(文)(2022·长安一中质检)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A、B两点.(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得TA、TB所在的直线与x轴所成的锐角相等,若存在,求出点T的坐标,若不存在,说明理由;(2)若△AOB的面积为,求向量、的夹角.[解析] (1)由题意知,抛物线方程为:y2=4x且P(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=my-1,代入y2=4x消去x得,y2-4my+4=0,∴Δ=16m2-16>0,∴m2>1,由根与系数的关系得,假设存在T(a,0)满足题意,则kAT+kBT=+=====0,∴8m-4m(1+a)=0,∴1+a=2,∴a=1,∴存在点T(1,0).-17-\n(2)设∠AOB=θ,S△ABO=||||sinθ=,∴||||=,·=x1x2+y1y2=·+y1y2=+y1y2=+4=5,∴cos∠AOB===sinθ,即cosθ=sinθ,∴tanθ=1,∴θ=,∴∠AOB=.(理)(2022·武汉市调研)如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2,E、F、G、H分别是矩形四条边的中点,分别以HF、EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上;(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由已知,得F(,0),C(,1).由=λ,=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).又E(0,-1),G(0,1),则直线ER的方程为y=x-1,①直线GR′的方程为y=-x+1.②由①②,得M(,).-17-\n∵+()2===1,∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上.(2)假设满足条件的点N(x0,y0)存在,则直线NF1的方程为y=k1(x+1),其中k1=,直线NF2的方程为y=k2(x-1),其中k2=.由消去y并化简,得(2k+1)x2+4kx+2k-2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.∵OP,OQ的斜率存在,∴x1≠0,x2≠0,∴k≠1.∴kOP+kOQ=+=+=2k1+k1·=k1(2-)=-.同理可得kOS+kOT=-.∴kOP+kOQ+kOS+kOT=-2(+)=-2·=-.∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0,∴-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0.由点N不在坐标轴上,知k1+k2≠0,∴k1k2=1,即·=1.③又y0=x0+2,④解③④,得x0=-,y0=.故满足条件的点N存在,其坐标为(-,).-17-
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