【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第6章 第3节 等比数列(含解析)新人教B版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第3节等比数列新人教B版一、选择题1.(2022·山西大学附中月考)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项为3,前3项和为21,则a3等于( )A.15 B.12 C.9 D.6[答案] B[解析] 设公比为q(q>0),则3+3q+3q2=21,∴q2+q-6=0,∴q=2,∴a3=a1q2=3×4=12.2.(文)(2022·宁夏银川市一中二模)已知等比数列{an}的公比大于1,a3a7=72,a2+a8=27,则a12=( )A.96B.64 C.72D.48[答案] A[解析] a2a8=a3a7=72,a2+a8=27,∵q>1,∴,∴q2=2,∴a12=a8q4=96.(理)(2022·山西重点中学四校联考)等比数列{an}满足an>0,n∈N+,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2[答案] A[解析] ∵a3·a2n-3=a=22n,∴an=2n,∴log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2(a1a2…a2n-1)=log2a=(2n-1)log2an=n(2n-1).3.(文)(2022·北大附中河南分校月考)已知各项为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为( )A.16B.8 C.2D.4[答案] B[解析] 因为a4a14=(2)2=8,即a=8,所以a9=2.则2a7+a11=+a9q2≥2=2×a9=8,当且仅当=a9q2,即q4=2时取等号,选B.(理)在由正数组成的等比数列{an}中,设x=a5+a10,y=a2+a13,则x与y的大小关系是( )A.x=yB.x≥y C.x≤yD.不确定[答案] C[解析] x-y=a1q(1-q3)(q8-1).当q=1时,x=y;-8-\n当q>1时,1-q3<0而q8-1>0,x-y<0;当0<q<1时,1-q3>0而q8-1<0,x-y<0.故选C.4.(文)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7 B.5 C.-5 D.-7[答案] D[解析] a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8⇒a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,a4=4,a7=-2⇒a1=-8,a10=1⇒a1+a10=-7,a4=-2,a7=4⇒a10=-8,a1=1⇒a1+a10=-7.(理)设{an}是公比为q的等比数列,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( )A.-B.-C.-或-D.-或-[答案] C[解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{-54,-24,18,36,81},其中-24,36,-54,81或81,-54,36,-24成等比数列,∴q=-或-.5.一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列,其最小角的正弦值为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 设三内角A<B<C,∵sinA、sinB、sinC成等比数列,∴a、b、c成等比数列,∴b2=ac,∴c2-a2=ac,∴2+-1=0.∵>0,∴==sinA,故选A.[点评] 在△ABC中,由正弦定理a=2RsinA、b=2RsinB可知,a<b⇔A<B⇔sinA<sinB.6.(2022·石家庄五校联合体摸底)若各项均为正数的等比数列{an}满足a2=1,a3a7-a5=56,其前n项的和为Sn,则S5=( )A.31B. C.D.以上都不对[答案] C[解析] ∵a3a7=a,a3a7-a5=56,a5>0,∴a5=8,∵a2=1,∴q3==8,∴q=2,a1=,-8-\n∴S5==.二、填空题7.(2022·河北衡水中学二调)在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8·a9=-,则+++=________.[答案] -[解析] ∵+=,+=,而a8a9=a7a10,∴+++===-.8.(2022·浙江湖州中学)已知数列{an}是正项等比数列,若a1=32,a4=4,则数列{log2an}的前n项和Sn的最大值为________.[答案] 15[解析] ∵a1=32,a4=4,∴q=,an=32·()n-1,log2an=log2[32·()n-1]=5+(n-1)log2=6-n,由6-n≥0,得n≤6,∴前5项(或6项)和最大,S5==15.9.如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1,a2,…,an或适当调整次序后能组成一个等比数列,则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”.如124,913,333等都是三位“等比数”.那么三位“等比数”共有________个.(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类:(1)111,222,…,999;(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个;第(2)类“等比数”有3×6=18个;因此,满足条件的三位“等比数”共有27个.三、解答题10.(文)(2022·合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N*.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列;(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.[解析] (1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1,(n>1,且n∈N*),∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n>1.又∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,∴当t=1时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,-8-\nTn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=+.(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.[解析] (1)证明:因为Sn=4an-3,所以n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整理得an=an-1.又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.(2)因为an=()n-1,bn+1=an+bn(n∈N*),所以bn+1-bn=()n-1.可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+=3·()n-1-1(n≥2),当n=1时符合上式,∴bn=3·()n-1-1.一、选择题11.(2022·浙江桐乡四校期中)已知{an}是等比数列,其中a1,a8是关于x的方程x2-2xsinα-sinα=0的两根,且(a1+a8)2=2a3a6+6,则锐角α的值为( )A.B. C.D.[答案] C[解析] 由条件知,∵a3a6=a1a8,(a1+a8)2=2a3a6+6,∴4sin2α=-2sinα+6,∵α为锐角,∴sinα=,∴α=.12.(文)(2022·泉州模拟)已知数列{an}满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),且它的前n项和为Sn,则满足Sn>1025的最小n值是( )-8-\nA.9B.10 C.11D.12[答案] C[解析] 因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=2an,即=2,所以数列{an}是公比为2的等比数列,所以an=2n-1,Sn=2n-1,则满足Sn>1025的最小n值为11.(理)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,bn=,且{bn}的前n项和为Tn,若对一切正整数n都有Sn>Tn,则数列{an}的公比q的取值范围是( )A.0<q<1B.q>1C.q>D.1<q<[答案] B[解析] 由于{an}是等比数列,公比为q,所以bn==an,于是b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an),即Tn=·Sn.又Sn>Tn,且Tn>0,所以q2=>1.因为an>0对任意n∈N*都成立,所以q>0,因此公比q的取值范围是q>1.13.在等比数列{an}中,an>0(n∈N+),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2,bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,则当++…+最大时,n的值等于( )A.8B.9 C.8或9D.17[答案] C[解析] ∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴a+2a3a5+a=25,又an>0,∴a3+a5=5,又q∈(0,1),∴a3>a5,∵a3a5=4,∴a3=4,a5=1,∴q=,a1=16,an=16×()n-1=25-n,bn=log2an=5-n,bn+1-bn=-1,∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,∴Sn=,∴=,∴当n≤8时,>0;当n=9时,=0;当n>9时,<0,∴当n=8或9时,++…+最大.14.(2022·上海虹口二模)已知数列{an}是首项为a1,公差为d(0<d<2π)的等差数列,若数列{cosan}是等比数列,则其公比为( )A.1B.-1 C.±1D.2[答案] B-8-\n[解析] 因为数列{cosan}是等比数列,所以cos2(a1+d)=cosa1·cos(a1+2d)=cos(a1+d-d)·cos(a1+d+d)=cos2(a1+d)cos2d-sin2(a1+d)sin2d,所以sin2d[cos2(a1+d)+sin2(a1+d)]=0,所以sin2d=0,sind=0,因为0<d<2π,所以d=π.公比q===-1.二、填空题15.(2022·湖南岳阳质检)已知数列{an}的首项为a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an)(n∈N*),记Sn为数列{an}的前n项和,则Sn=________,an=________.[答案] 2×()n-1 [解析] 由an+1=(a1+a2+…+an)(n∈N*),可得an+1=Sn,所以Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,由此可知数列{Sn}是一个等比数列,其中首项S1=a1=2,公比为,所以Sn=2×()n-1,由此得an=16.(2022·辽宁抚顺六校联合体期中){an}为等比数列,若a3和a7是方程x2+7x+9=0的两个根,则a5=________.[答案] -3[解析] 由已知,得∴a3,a7均为负数,那么这个等比数列的奇数项应都为负数,a5=-=-3.三、解答题17.(2022·沈阳铁路实验中学期中)设数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在直线y=x-1上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差类dn的等差数列,求数列{}的前n项和Tn.[解析] (1)由条件知,Sn=an-1,∴n≥2时,Sn-1=an-1-1,两式相减得,an=an-an-1,∴an=3an-1,又a1=S1=a1-1,∴a1=2,∴{an}是首项为2,公比为3的等比数列,∴an=2×3n-1.-8-\n(2)由(1)知,an=2×3n-1,an+1=2×3n,∵an+1=an+(n+1)dn,∴dn=,∴=,∴Tn=++…+=+++…+,Tn=+++…++,两式相减得,Tn=+++…+-=+-=-,∴Tn=-.18.(文)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)设数列{an}的公比为q(q>1),由已知,得即解得故数列{an}的通项为an=2n-1.(2)由(1)得a3n+1=23n,∴bn=lna3n+1=ln23n=3nln2,又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是以b1=3ln2为首项,以3ln2为公差的等差数列.∴Tn=b1+b2+…+bn===即Tn=ln2.(理)(2022·四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有改选B菜;而选B菜的,下星期一会有改选A菜.用an,bn分别表示第n个星期选A的人数和选B的人数.(1)试用an-1(n∈N*,n≥2)表示an,判断数列{an-300}是否成等比数列并说明理由;(2)若第1个星期一选A种菜的有200人,那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人?-8-\n[解析] (1)由题知,对n∈N*有bn=500-an,所以当n∈N*且n≥2时,an=an-1+(500-an-1),即an=an-1+150.∴an-300=(an-1-300),∴当a1=300时,{an-300}不是等比数列;当a1≠300时,{an-300}是以a1-300为首项,为公比的等比数列.(2)当a1=200时,an-300=()n-1(a1-300),即an=300-,∴a10=300-≈300.∴第10个星期一选A种菜的大约有300人.-8-
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