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五年高考真题2022届高考数学复习第八章第六节空间向量的应用理全国通用
五年高考真题2022届高考数学复习第八章第六节空间向量的应用理全国通用
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考点 空间向量及其应用1.(2022·陕西,18)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1)证明 在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且A1O∩OC=O,图1从而BE⊥平面A1OC,又在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=AD,E为AD中点,所以BC綉ED,所以四边形BCDE为平行四边形,故有CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解 由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,所以∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以∠A1OC=,图2如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,所以B,E,A1,C,得=,=,7\n==(-,0,0),设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为θ,则得取n1=(1,1,1);得取n2=(0,1,1),从而cosθ=|cos<n1,n2>|==,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.2.(2022·天津,17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)证明 依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,=,由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0),设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则即7\n不妨设z=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x,y,z)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos〈n1,n2〉==-,于是sin〈n1,n2〉=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1),又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos〈,n〉===,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2,所以,线段A1E的长为-2.3.(2022·江西,19)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.(1)求证:AD⊥平面CFG;(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.(1)证明 在△ABD中,因为E是BD的中点,所以EA=EB=ED=AB=1,故∠BAD=,∠ABE=∠AEB=,因为△DAB≌△DCB,7\n所以△EAB≌△ECB,从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=,所以∠FED=∠FEA,故EF⊥AD,AF=FD,又因为PG=GD,所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD,所以GF⊥AD,故AD⊥平面CFG.(2)解 以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C,D,P,故=,=,=.设平面BCP的法向量n1=(1,y1,z1),则解得即n1=.设平面DCP的法向量n2=(1,y2,z2),则解得7\n即n2=(1,,2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ===.4.(2022·湖北,19)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足=,记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角ElC的大小为β,求证:sinθ=sinαsinβ.(1)解 直线l∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以直线l∥平面PAC.(2)证明 法一 (综合法)如图1,连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.因为AB是⊙O的直径,所以AC⊥BC,于是l⊥BC,图1已知PC⊥平面ABC,而l⊂平面ABC,所以PC⊥l.而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.连接BE,BF,因为BF⊂平面PBC,所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角ElC的平面角,即∠CBF=β.7\n由=,作DQ∥CP,且DQ=CP.连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,所以DQ=PF,从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF为锐角,故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即∠BDF=α,于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得sinθ=,sinα=,sinβ=,从而sinαsinβ=·==sinθ,即sinθ=sinαsinβ.法二 (向量法)如图2,由=,作DQ∥CP,且DQ=CP.连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点,向量,,所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E,F(0,0,c).于是=(a,0,0),图2=(-a,-b,c),=(0,-b,c),所以cosα==,从而sinα==.又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得7\nsinθ==,设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),所以由可得取n=(0,c,b).于是|cosβ|==,从而sinβ==.故sinαsinβ=·==sinθ,即sinθ=sinαsinβ.7
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高考 - 历年真题
发布时间:2022-08-25 23:59:02
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文章作者:U-336598
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