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五年高考真题2022届高考数学复习第八章第五节空间垂直的判定与性质理全国通用

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考点 空间垂直的判定与性质1.(2022·浙江,8)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′-CD-B的平面角为α,则(  )A.∠A′DB≤α   B.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤α   D.∠A′CB≥α解析 极限思想:若α=π,则∠A′CB<π,排除D;若α=0,如图,则∠A′DB,∠A′CB都可以大于0,排除A,C.故选B.答案 B2.(2022·广东,7)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(  )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A、B、C,选D.答案 D3.(2022·新课标全国Ⅱ,4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(  )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l解析 ∵m⊥α,l⊥m,l⊄α∴l∥α,同理l∥β,又∵m,n为异面直线,∴α与β相交,且l平行于交线,故选D.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅱ,19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点15\nE,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.解 (1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos〈n,〉|==.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.5.(2022·新课标全国Ⅰ,18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明 连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.15\n在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=,从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解 如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz,由(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0),所以=(1,,),=.故cos〈,〉==-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.6.(2022·新课标全国Ⅰ,19)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A-A1B1-C1的余弦值.(1)证明 连接BC1,交B1C于点O,连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)解 因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的15\n空间直角坐标系O-xyz.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形.又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C.=,==,==.设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则即所以可取n=(1,,).设m是平面A1B1C1的法向量,则同理可取m=(1,-,).则cos〈n,m〉==.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.7.(2022·广东,18)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值.(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD.∴AD⊥PC.又AF⊥PC,AD∩AF=A,15\n∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.(2)解 法一 设AB=1,则在Rt△PDC中,CD=1,∵∠DPC=30°,∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,∴DF=,CF=.又FE∥CD,∴==,∴DE=.同理EF=CD=.如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E,F,P(,0,0),C(0,1,0).设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则又∴令x=4,则z=,m=(4,0,).由(1)知平面ADF的一个法向量为=(-,1,0),设二面角D-AF-E的平面角为θ,可知θ为锐角,cosθ=|cos〈m,〉|===.故二面角D-AF-E的余弦值为.法二 设AB=1,∵CF⊥平面ADF,∴CF⊥DF.15\n∴在△CFD中,DF=,∵CD⊥AD,CD⊥PD,∴CD⊥平面ADE.又∵EF∥CD,∴EF⊥平面ADE.∴EF⊥AE,∴在△DEF中,DE=,EF=,在△ADE中,AE=,在△ADF中,AF=.由VADEF=·S△ADE·EF=·S△ADF·hEADF,解得hEADF=,设△AEF的边AF上的高为h,由S△AEF=·EF·AE=·AF·h,解得h=×,设二面角DAFE的平面角为θ.则sinθ==××=,∴cosθ=.8.(2022·辽宁,19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.(1)证明 法一 过E作EO⊥BC,垂足为O,连接OF如图1.图1由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.15\n所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO,又EF⊂面EFO,所以EF⊥BC.法二 由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0).图2因而E(0,,),F,所以=,=(0,2,0),因此·=0.从而⊥,所以EF⊥BC.(2)解 法一 在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连接EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC,又OG⊥BF,由三垂线定理知,EG⊥BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角.在△EOC中,EO=EC=BC·cos30°=,由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2,从而sin∠EGO=,即二面角EBFC的正弦值为.法二 在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量n2=(x,y,z),又=,=.由15\n得其中一个n2=(1,-,1).设二面角E-BF-C大小为θ,且由题意知θ为锐角,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|==,因此sinθ==,即所求二面角的正弦值为.9.(2022·江西,19)如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:AB⊥PD;(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.(1)证明 ABCD为矩形,故AB⊥AD;又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,由PD⊂平面PAD,故AB⊥PD.(2)解 过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.设AB=m,则OP==,故四棱锥P-ABCD的体积为V=··m·=.因为m==,故当m=,即AB=时,四棱锥P-ABCD的体积最大.15\n此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),B,C,D,P.故=,=(0,,0),=,设平面BPC的一个法向量n1=(x,y,1),则由n1⊥,n1⊥得解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面DPC的一个法向量n2=.从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为cosθ===.10.(2022·湖南,19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1OB1D的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC,同理DD1⊥BD,因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD,而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD.由题设知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD.15\n(2)解 法一 如图,过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1.由(1)知,O1O⊥底面ABCD,所以O1O⊥底面A1B1C1D1,于是O1O⊥A1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1,进而OB1⊥C1H,故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.不妨设AB=2.因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,OB1=.在Rt△OO1B1中,易知O1H==2,而O1C1=1,于是C1H===.故cos∠C1HO1===.即二面角C1-OB1-D的余弦值为.法二 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.又由(1)知O1O⊥底面ABCD,从而OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设AB=2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1.于是相关各点的坐标为:O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.15\n设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的法向量,则即取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-),设二面角C1OB1D的大小为θ,易知θ是锐角,于是cosθ=|cos〈n1,n2〉|=||==.故二面角C1OB1D的余弦值为.15\n11.(2022·陕西,18)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.解 建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=AA1=可知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),B1(-1,1,1),C(-1,0,0),A1(0,0,1),D1(-1,-1,1).(1)证明 =(-1,0,-1),=(0,2,0),=(-1,0,1),·=0,·=0,即A1C⊥DB,A1C⊥BB1,且DB∩BB1=B,∴A1C⊥平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n=(x,y,z),∵=(-1,0,0),∴=(-1,1,1),∴∴取n=(0,1,-1),由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量,∴cosθ=|cos〈n,〉|==.又0≤θ≤,∴θ=.12.(2022·辽宁,18)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;15\n(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(1)证明 由AB是圆的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC.所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解 过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).因为=(0,0,1),=(,-1,0),设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以不妨令x2=1,则n2=(1,,0).于是cos〈n1,n2〉==.所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为.13.(2022·广东,18)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(1)证明:BD⊥平面PAC;15\n(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.(1)证明 ⇒(2)解 法一 由(1)得BD⊥平面PAC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC.又四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD是正方形.设AC交BD于O点,连接EO,∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥BE,PC⊥EO.∴∠BEO即为二面角BPCA的平面角.∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,又OE===,在直角三角形BEO中,tan∠BEO===3,∴二面角BPCA的正切值为3.法二 由(1)可知BD⊥面PAC,AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC,∴矩形ABCD为正方形,建立如图所示的坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0).∴=(0,0,1),=(2,2,0).设平面PAC的一个法向量为n1=(x,y,z),15\n则令x=1,∴y=-1,z=0.即n1=(1,-1,0).同理求得面PBC的一个法向量为n2=(1,0,2).∴cos〈n1,n2〉=.设二面角BPCA的大小为α,则cosα=,∴sinα=,∴tanα=3.∴二面角B-PC-A的正切值为3.15

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发布时间:2022-08-25 23:59:02 页数:15
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文章作者:U-336598

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