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五年高考真题2022届高考数学复习第八章第七节空间角与距离理全国通用
五年高考真题2022届高考数学复习第八章第七节空间角与距离理全国通用
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考点一 直线与平面所成的角及二面角1.(2022·广东,5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是( )A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)解析 设选项中的向量与a的夹角为θ,对于选项A,由于cosθ==-,此时夹角θ为120°,不满足题意;对于选项B,由于cosθ==,此时夹角θ为60°,满足题意.故选B.答案 B2.(2022·四川,8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )A.B.C.D.解析 易证AC1⊥平面A1BD,当点P在线段CC1上从C运动到C1时,直线OP与平面A1BD所成的角α的变化情况:∠AOA1→→∠C1OA1(点P为线段CC1的中点时,α=),由于sin∠AOA1=,sin∠C1OA1=>,sin=1,所以sinα的取值范围是[,1].答案 B3.(2022·新课标全国Ⅱ,11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析 以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),25\n∴cos〈,〉====,故选C.答案 C4.(2022·山东,4)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )A.B.C.D.解析 如图所示,由棱柱体积为,底面正三角形的边长为,可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为=2.故∠PAO=,即PA与平面ABC所成的角为.答案 B5.(2022·大纲全国,10)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.解析 设AB=1,则AA1=2,分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.如右图所示:则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2).=(1,1,0),=(0,1,-2),=(0,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则即,取n=(-2,2,1).设CD与平面BDC1所成角为θ则sinθ==,故选A.答案 A25\n6.(2022·辽宁,8)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确;易知B正确;设AC与DB交于O点,连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确,由排除法可知选D.答案 D7.(2022·四川,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.解析 建立空间直角坐标系如图所示,设AB=1,则=,E,设M(0,y,1)(0≤y≤1),则=,∴cosθ==-.25\n设异面直线所成的角为α,则cosα=|cosθ|==·,令t=1-y,则y=1-t,∵0≤y≤1,∴0≤t≤1,那么cosα=|cosθ|=·==,令x=,∵0≤t≤1,∴x≥1,那么cosα=,又∵z=9x2-8x+4在[1,+∞)上单增,∴x=1,zmin=5,此时cosα的最大值=·=·=.答案 8.(2022·安徽,19)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EF∥B1C.(2)求二面角EA1DB1的余弦值.(1)证明 由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D,又A1D⊂面A1DE,B1C⊄面A1DE,于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.(2)解 因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB⊥AD且AA1=AB=AD.以A为原点,分别以,,25\n为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为.设面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),而该面上向量=,=(0,1,-1),由n1⊥.n1⊥得r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取n1=(-1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为==.9.(2022·重庆,19)如图,三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明 由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.由PC∩CD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE⊥平面PCD.(2)解 由(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=,如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由∠ACB=得DF∥AC,==,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),25\n=(-1,-1,3),=.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0,得故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos〈n1,n2〉==,故所求二面角A-PD-C的余弦值为.10.(2022·北京,17)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.(1)证明 因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB.AO⊂平面AEF,所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.(2)解 取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB.又OG⊂平面EFCB,所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).25\n设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=,y=-1,于是n=(,-1,1).平面AEF的法向量为p=(0,1,0).所以cos〈n,p〉==-.由题知二面角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为-.(3)解 因为BE⊥平面AOC,所以BE⊥OC,即·=0,因为=(a-2,(a-2),0),=(-2,(2-a),0),所以·=-2(a-2)-3(a-2)2.由·=0及0<a<2,解得a=.11.(2022·四川,18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)证明:直线MN∥平面BDH;(3)求二面角A-EG-M的余弦值.(1)解 点F,G,H的位置如图所示.(2)证明 连接BD,设O为BD的中点,因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=CD,25\nHN∥CD,且HN=CD,所以OM∥HN,OM=HN,所以MNHO是平行四边形,从而MN∥OH,又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.(3)解 法一 连接AC,过M作MP⊥AC于P,在正方体ABCD-EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥EG,过P作PK⊥EG于K,连接KM,所以EG⊥平面PKM,从而KM⊥EG,所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角,设AD=2,则CM=1,PK=2,在Rt△CMP中,PM=CMsin45°=,在Rt△PKM中,KM==,所以cos∠PKM==,即二面角A-EG-M的余弦值为.法二 如图,以D为坐标原点,分别以,,方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz,设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以,=(2,-2,0),=(-1,0,2),设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),由取x=2,得n1=(2,2,1),在正方体ABCD-EFGH中,DO⊥平面AEGC,则可取平面AEG的一个法向量为n2==(1,1,0),所以cos<n1,n2>===,故二面角A-EG-M的余弦值为.25\n12.(2022·陕西,17)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H. (1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.(1)证明 由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1.由题设,BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥DC,AD⊥BD,∴AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.(2)解 法一 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).25\n设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),∵EF∥AD,FG∥BC,∴n·=0,n·=0,得取n=(1,1,0),∴sinθ=|cos〈,n〉|===.法二 建立以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),∵E是AB的中点,∴F,G分别为BD,DC的中点,得E(1,0,),F(1,0,0),G(0,1,0).∴=,=(-1,1,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,得取n=(1,1,0),∴sinθ=|cos〈,n〉|===.13.(2022·天津,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;25\n(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.法一 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).(1)证明 向量=(0,1,1),=(2,0,0),故·=0.所以,BE⊥DC.(2)解 向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量.则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,于是有cos〈n,〉===.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)解 向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1.故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得·=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=.即=.设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则25\n即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则cos〈n1,n2〉===-.易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为.法二 (1)证明 如图,取PD中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=DC,又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,从而CD⊥平面PAD,因为AM⊂平面PAD,于是CD⊥AM,又BE∥AM,所以BE⊥CD.(2)解 连接BM,由(1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD,而EM∥CD,故PD⊥EM,又因为AD=AP,M为PD的中点,故PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM,而BE⊥EM,可得∠EBM为锐角,故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意,有PD=2,而M为PD中点,可得AM=,进而BE=.故在直角三角形BEM中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)解 如图,在△PAC中,过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD,故FH⊥底面ABCD,从而FH⊥AC.又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD内,可得CH=3HA,从而CF=3FP.在平面PDC内,作FG∥DC交PD于点G,于是DG=3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四点共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F-AB-P的平面角.25\n在△PAG中,PA=2,PG=PD=,∠APG=45°,由余弦定理可得AG=,cos∠PAG=.所以,二面角F-AB-P的余弦值为.14.(2022·湖南,19)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.法一 (1)证明 如图,因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥BB1.又AC⊥BD,所以AC⊥平面BB1D.而B1D⊂平面BB1D,所以AC⊥B1D.(2)解 因为B1C1∥AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ).如图,连接A1D,因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱,且∠B1A1D1=∠BAD=90°,所以A1B1⊥平面ADD1A1.从而A1B1⊥AD1.又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D,于是AD1⊥B1D.由(1)知,AC⊥B1D,所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1=90°-θ.在直角梯形ABCD中,因为AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB,故=.即AB==.25\n连接AB1,易知△AB1D是直角三角形,且B1D2=BB+BD2=BB+AB2+AD2=21,即B1D=.在Rt△AB1D中,cos∠ADB1===,即cos(90°-θ)=.从而sinθ=.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.法二 (1)证明 易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为·=-3+3+0=0,所以⊥,即AC⊥B1D.(2)解 由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则即令x=1,则n=(1,-,).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.25\n15.(2022·新课标全国,19)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(1)证明:DC1⊥BC;(2)求二面角A1BDC1的大小.(1)证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形,由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=AA1,可得DC+DC2=CC,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD,故DC1⊥BC.(2)解 由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则即可取n=(1,1,0).同理,设m=(x1,y1,z1)是平面C1BD的法向量.则即可取m=(1,2,1).从而cos〈n,m〉==.故二面角A1BDC1的大小为30°.25\n考点二 空间距离1.(2022·江西,10)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )解析 根据反射的对称性,质点是在过A,E,A1的平面内运动.因为<,所以过A、E,A1作长方体的截面AA1NM如图所示.设点A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′,易知它在z轴上,且A′A1=AA1=12,连接A′E并延长交平面ABCD于点E1,因为A1E=5,所以AE1=10,且E1到AB,AD的距离分别为6,8,即E1(8,6,0),而它在线段AM上,从而知L1=AE=EE1=L2;事实上,只需要在AA1NM内,过E1作AE的平行线交MN于点E2,再过E2作E1E的平行线交A1N于点E3,可知EE1>E2E3=L4>E1E2=L3,故L1=L2>L4>L3,故选C.答案 C2.(2022·全国,4)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.C.D.1解析 连接AC交BD于点O,连接OE,∵AB=2,∴AC=2.又CC1=2,则AC=CC1.作CH⊥AC1于点H,交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知,CM⊥OE,M为CH的中点.由BD⊥AC,EC⊥BD知,BD⊥平面EOC,25\n∴CM⊥BD.∴CM⊥平面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离.又△ACC1为等腰直角三角形,∴CH=2.∴HM=1.答案 D3.(2022·重庆,9)高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )A.B.C.1D.解析 如图所示,过S点作SE⊥AC交AC的延长线于E点,则SE⊥面ABCD,故SE=.设球心为O,A,B,C,D所在圆的圆心为O1,则O1为AC,BD的交点.在Rt△OAO1中,AO1=,AO=1,故OO1==.故OO1=2SE.过S点作SO2⊥O1O于点O2,则O2为O1O的中点.故△OSO1为等腰三角形,则有O1S=SO=1.答案 C4.(2022·大纲全国,6)已知直二面角αlβ,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A.B.C.D.1解析 由题意可作图:∵AB=2,AC=BD=1,∴BC==,∴CD==,作DE⊥BC于点E,则DE即为D到平面ABC的距离.∵DC·DB=BC·DE,∴DE===.25\n答案 C5.(2022·北京,14)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________.解析 过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H==.答案 v6.(2022·江苏,22)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.解 以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0).因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,25\n即令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos〈,m〉==,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为=(-1,0,2),设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,-1,0),则=+=(-λ,-1,2λ),又=(0,-2,2),从而cos〈,〉==.设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2〈,〉==≤.当且仅当t=,即λ=时,|cos〈,〉|的最大值为.因为y=cosx在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为BP==,所以BQ=BP=.7.(2022·山东,17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明 法一 连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,25\n所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.法二 在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解 法一 设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC,又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点.所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).可得H,F(0,,1),故=,=(0,,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0).25\n所以cos〈,n〉===.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.法二 作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=BG=,由△GNM∽△GCF,可得=,从而MN=.由HM⊥平面ACFD,MN⊂平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH==,所以∠MNH=60°,所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.8.(2022·四川,18)三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.(1)证明:P是线段BC的中点;(2)求二面角ANPM的余弦值;(1)证明 如图,取BD中点O,连接AO,CO.由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形,因此AO⊥BD,OC⊥BD.25\n因为AO、OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.取BO的中点H,连接NH,PH,又M,N分别为线段AD,AB的中点,所以NH∥AO,MN//BD.因为AO⊥BD,所以NH⊥BD.因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.因为NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.又因为HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.因为H为BO的中点,故P为BC中点.(2)解 法一 如图,作NQ⊥AC于Q,连接MQ.由(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.因为MN⊥NP,所以∠MNQ为二面角ANPM的一个平面角.由(1)知,△ABD,△BCD是边长为2的正三角形,所以AO=OC=.由俯视图可知,AO⊥平面BCD.因为OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,因此在等腰Rt△AOC中,AC=,作BR⊥AC于R.在△ABC中,AB=BC,25\n所以BR==.因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,所以NQ∥BR.又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,因此NQ==.同理,可得MQ=.所以在等腰△MNQ中,cos∠MNQ===.故二面角ANPM的余弦值是.法二 由俯视图及(1)可知,AO⊥平面BCD.因为OC,OB⊂平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB.又OC⊥OB,所以直线OA,OB,OC两两垂直.如图,以O为坐标原点,以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).因为M,N分别为线段AD,AB的中点,又由(1)知,P为线段BC的中点,所以M,N,P.于是=(1,0,-),=(-1,,0),=(1,0,0),=.设平面ABC的法向量n1=(x1,y1,z1),则即有从而25\n取z1=1,则x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).连接MP,设平面MNP的法向量n2=(x2,y2,z2),则即有从而取z2=1,所以n2=(0,1,1).设二面角ANPM的大小为θ,则cosθ===.故二面角ANPM的余弦值是.9.(2022·重庆,19)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.解 (1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB.又CD⊥AA1,故CD⊥面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==.(2)法一 如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥DD1,所以∠A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角.因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1⊥A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此=,即AA=AD·A1B1=8,得AA1=2.从而A1D==2.25\n所以,在Rt△A1DD1中,cos∠A1DD1===.法二 如图,过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1两两垂直.以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,,0),C1(0,,h),从而=(4,0,h),=(2,,-h),由⊥,有8-h2=0,h=2.故=(-2,0,2),=(0,0,2),=(0,,0).设平面A1CD的法向量为m=(x1,y1,z1),则m⊥,m⊥,即取z1=1,得m=(,0,1).设平面C1CD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n⊥,n⊥,即取x2=1,得n=(1,0,0),所以cos〈m,n〉===.所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值为.25
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高考 - 历年真题
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