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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第七节空间角与距离理全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第七节空间角与距离理全国通用
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A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·泰安模拟)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°解析 设l与α所成角为θ,∵cos〈m,n〉=-,又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,∴sinθ=.∴θ=30°.答案 A2.(2022·广州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为( )A.B.C.D.解析 设正方体棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos〈,〉=-,sin〈,〉=.答案 B3.(2022·石家庄调研)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( )A.B.C.D.解析 如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BD的法向量n=(x,y,z),10\n则令x=1,则n=(1,-1,-1).∴点D1到平面A1BD的距离d===.答案 D4.(2022·江西南昌质检)二面角αlβ等于120°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于( )A.B.C.2D.解析 如图,∵二面角αlβ等于120°,∴与夹角为60°.由题设知,⊥,⊥,||=||=||=1,||2=|++|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=3+2×cos60°=4,∴||=2.答案 C二、填空题5.(2022·青岛模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.解析 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面A1BC1的法向量,则n·=0,n·=0,即令z=2,则y=1,x=2,于是n=(2,1,2),=(0,2,0),sinα=|cos〈n,〉|=.答案 一年创新演练10\n6.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点C到平面GEF的距离为________.解析 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,则=(0,0,2),由题意可求得平面GEF的一个法向量为n=(1,1,3),所以点C到平面GEF的距离为d==.答案 7.如图,三棱锥PABC中,PA=PB=PC=,CA=CB=,AC⊥BC.(1)求点B到平面PAC的距离;(2)求二面角CPAB的余弦值.解 取AB中点O,连接OP,CO,∵CA=CB=,∠ACB=90°,∴CO⊥AB,且AB=2,CO=1.∵PA=PB=,∴PO⊥AB,且PO==.∴PO2+OC2=3=PC2,∴∠POC=90°,即PO⊥OC.∴OA,OC,OP两两垂直.如图所示,分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则各相关点的坐标为A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,).(1)设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,1),则∵=(-1,1,0),=(1,0,-),∴,∴x=y=,∴n=(,,1).∵=(-2,0,0),∴点B到平面PAC的距离为d===.(2)=(0,1,0)是平面PAB的一个法向量,cos〈n,〉==.10\n综合图形可见,二面角CPAB的大小为锐角,∴二面角CPAB的余弦值为.B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8.(2022·宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( ) A.B.C.D.解析 法一 取A1C1的中点E,连接AE、B1E.由题易知B1E⊥平面ACC1A1,则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角.令正三棱柱侧棱长与底面边长为1,则sin∠B1AE===,故选A.法二 如上图,以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz,设棱长为1,则A(,0,1),B1(0,,0),设AB1与面ACC1A1所成角为θ,则sinθ=|cos〈,〉|==.答案 A二、填空题9.(2022·江苏徐州一模)将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则A与C之间的距离为________.解析 设折叠后点A到达A1点的位置,取BD的中点E,连接A1E、CE.∴BD⊥CE,BD⊥A1E.∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角.∴∠A1EC=60°,又A1E=CE,∴△A1EC是等边三角形.∴A1E=CE=A1C=a.10\n即折叠后点A与C之间的距离为a.答案 a三、解答题10.(2022·南京模拟)如图,△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4.M,N,D分别是SC,AB,BC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)求二面角SNDA的余弦值;(3)求点A到平面SND的距离.解 以B为坐标原点,BC,BA为x,y轴的正方向,垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图).(1)证明 由题意得A(0,4,0),B(0,0,0),M(1,2,1),N(0,2,0),S(0,4,2),D(1,0,0).所以:=(-1,0,-1),=(0,-4,0),·=0,∴MN⊥AB.(2)设平面SND的一个法向量为m=(x,y,z),则:m·=0,且m·=0.∵=(0,-2,-2),=(-1,2,0),∴即令z=1,得:x=-2,y=-1,∴m=(-2,-1,1).又平面AND的法向量为n=(0,0,1),cos〈m,n〉==.由题图易知二面角SNDA为锐角,故其余弦值为.(3)∵=(0,-2,0),∴点A到平面SND的距离d==.11.(2022·广东六校联盟模拟)如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t(0<t<2),连接A1B,A1C,A1D.10\n(1)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值;(2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由.解 法一 (1)根据题意,长方体体积为V=t(2-t)×1=t(2-t)≤=1,当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1,所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,作BM⊥A1C于M,连接DM,BD,因为四边形ABCD为正方形,所以△A1BC与△A1DC全等,故DM⊥A1C,所以∠BMD即为所求二面角的平面角.因为BC⊥平面AA1B1B,所以△A1BC为直角三角形,又A1B=,A1C=,所以BM===,同理可得,DM=,在△BMD中,根据余弦定理有:cos∠BMD==-,因为∠BMD∈(0°,180°),所以∠BMD=120°,即此时二面角B-A1C-D的值是120°.(2)若线段A1C上存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,则A1C⊥BD又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD,所以BD⊥平面A1AC.所以BD⊥AC,底面四边形ABCD为正方形,即只有ABCD为正方形时,线段A1C上存在点P满足要求,否则不存在.由(1)知,所求点P即为BM⊥A1C的垂足M,此时,A1P===.法二 根据题意可知,AA1,AB,AD两两垂直,以AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系:10\n(1)长方体体积为V=t(2-t)×1=t(2-t)≤=1,当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1.所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,则A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(0,1,0),设平面A1BC的法向量m=(x,y,z),则取x=z=1,得:m=(1,0,1),同理可得平面A1CD的法向量n=(0,1,1),所以,cos〈m,n〉==,又二面角B-A1C-D为钝角,故值是120°.(也可以通过证明B1A⊥平面A1BC写出平面A1BC的法向量)(2)根据题意有B(t,0,0),C(t,2-t,0),D(0,2-t,0),若线段A1C上存在一点P满足要求,不妨=λ(λ>0),可得P(λt,λ(2-t),1-λ)=(λt-t,λ(2-t),1-λ),=(-t,2-t,0),即:解得:t=1,λ=.即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上A1P∶PC=2∶1处.一年创新演练12.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=30°,∠B=90°,D为AC中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F,将△ABD沿BD折起,折起后∠AEF=θ.(1)求证:平面AEF⊥平面BCD;(2)cosθ为何值时,AB⊥CD?(1)证明 在Rt△ABC中,∠C=30°,D为AC的中点,则△ABD是等边三角形.又E是BD的中点,故BD⊥AE,BD⊥EF,10\n折起后,AE∩EF=E,∴BD⊥平面AEF.∵BD⊂平面BCD,∴平面AEF⊥平面BCD.(2)解 如图所示,过A作AP⊥平面BCD于P,则P在FE的延长线上.设BP与CD相交于Q,令AB=1,则△ABD是边长为1的等边三角形.若AB⊥CD,又AP⊥CD,则CD⊥平面ABP,PQ⊂平面ABP,则BQ⊥CD.在Rt△CBQ中,由于∠C=30°,故∠CBQ=60°.又∠CBD=30°,故∠EBP=30°.在Rt△EBP中,PE=BE·tan30°=×=.又AE=,故cos∠AEP==.折起后有cosθ=cos(π-∠AEP)=-.故当cosθ=-时,AB⊥CD.13.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0),P是侧棱AA1上的动点.(1)当AA1=AB=AC时,求证:A1C⊥平面ABC1;(2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值;(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为,试求实数t的值.(1)证明 连接A1C.∵AA1⊥平面ABC,AB、AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.又AB⊥AC,∴以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.10\n则A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),=(0,1,-1),=(0,1,1),=(1,0,0).设平面ABC1的法向量n=(x,y,z),则解得令z=1,则n=(0,-1,1).∵=-n,∴A1C⊥平面ABC1.(2)解 ∵AA1∥平面BB1C1C,∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离.∴=t2(3-2t)=t2-t3(0<t<),V′=-t(t-1),令V′=0,得t=0(舍去)或t=1,列表得t(0,1)1V′+0-V递增极大值递减∴当t=1时,Vmax=.(3)解 A(0,0,0),C1(0,t,3-2t),B(t,0,0),C(0,t,0),A1(0,0,3-2t),=(0,t,2t-3),=(0,t,3-2t),=(t,0,0),=(0,0,3-2t),=(-t,t,0).设平面ABC1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则解得令z1=t,则n1=(0,2t-3,t).10\n设平面BCC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则∵0<t<,∴解得令y2=1,则n2=(1,1,0).设二面角ABC1C的平面角为θ,由图可知θ为锐角,则有|cosθ|===.化简得5t2-16t+12=0,解得t=2(舍去)或t=.∴当t=时,二面角ABC1C的平面角的余弦值为.10
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:34
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