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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第六节空间向量的应用理全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第六节空间向量的应用理全国通用
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A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·长沙模拟)有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③解析 对于①,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以①错误,②③正确.答案 C2.(2022·莆田模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )A.B.C.D.解析 由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴解得答案 D3.(2022·长春模拟)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则2等于( )A.(9,0,16)B.25C.5D.13解析 A在xOz平面上的射影为B(3,0,-4),则=(3,0,-4),2=25.答案 B9\n4.(2022·青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在上,且=,N为B1B的中点,则||为( )A.B.C.D.解析 如图,设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=0.由条件知=++=-(a+b+c)+a+c=a-b+c,∴2=a2+b2+c2=,∴||=.答案 A二、填空题5.(2022·寿光模拟)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________.解析 b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|==,∴当t=时,|b-a|取得最小值为.答案 一年创新演练6.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为( )A.0 B. C. D.9\n解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0.答案 A7.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.(1)证明 设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,∴=b+c,=-c+b-a.∴·=-c2+b2=0.∴⊥,即CE⊥A′D.(2)解 =-a+c,∴||=|a|,||=|a|.·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2,∴cos〈,〉==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9\n8.(2022·福州模拟)若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),则|AB|的取值范围是( )A.[0,5]B.[1,5]C.(0,5)D.[1,25]解析 ∵A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),|AB|===,∴≤|AB|≤=5,即1≤|AB|≤5,故选B.答案 B二、填空题9.(2022·海口模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).则以,为边的平行四边形的面积为________.解析 由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴cos〈,〉====.∴sin〈,〉=.∴以,为边的平行四边形的面积S=2×||·||·sin〈,〉=14×=7.答案 7三、解答题10.(2022·河南商丘模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60°.(1)求证:C1B⊥平面ABC;(2)设=λ(0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.(1)证明 因为AB⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以AB⊥BC1,9\n在△CBC1中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=60°,由余弦定理得:BC=BC2+CC-2BC·CC1·cos∠BCC1=12+22-2×1×2×cos60°=3,所以BC1=,故BC2+BC=CC,所以BC⊥BC1,又BC∩AB=B,∴C1B⊥平面ABC.(2)解 由(1)可知,AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),C1(0,0,),B1(-1,0,).所以=(-1,0,),所以=(-λ,0,λ),∴E(1-λ,0,λ),则=(1-λ,-1,λ),=(-1,-1,).设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z),则得令z=,则x=,y=,,∴n=,∵AB⊥平面BB1C1C,=(0,1,0)是平面的一个法向量,∴|cos〈n,〉|===.两边平方并化简得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ=(舍去).∴λ=1.11.(2022·山东青岛一模)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.(1)求证:平面BDGH∥平面AEF;(2)求二面角H-BD-C的大小.9\n(1)证明 在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点.所以GH∥EF,又因为GH⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以GH∥平面AEF.设AC∩BD=O,连接OH,因为ABCD为菱形,所以O为AC中点,在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,又因为OH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH=H,OH,GH⊂平面BDGH,所以平面BDGH∥平面AEF.(2)解 取EF的中点N,连接ON,因为四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,所以ON∥ED,因为平面BDEF⊥平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,所以ON⊥平面ABCD,因为ABCD为菱形,所以AC⊥BD,得OB,OC,ON两两垂直.所以以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,BF=3,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),E(-1,0,3),F(1,0,3),C(0,,0),H,所以=,=(2,0,0).设平面BDH的法向量为n=(x,y,z),则⇒令z=1,得n=(0,-,1).由ED⊥平面ABCD,得平面BCD的法向量为=(0,0,3),9\n则cos〈n,〉===.所以二面角H-BD-C的大小为60°.一年创新演练12.如图,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点.将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;(2)求二面角G-EF-D的大小;(3)求三棱锥D-PAB的体积.(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD.CD⊂平面ABCD,∴PD⊥CD.又AB=BC=AP=AD,AP⊥AB,∴四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.又PD∩AD=D,∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD.(2)解 如图,以D为原点,分别以DC,DA,DP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则G(2,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1),∴=(-1,0,0),=(1,1,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),9\n∴即∴取n=(0,1,1).取平面PCD的一个法向量=(0,1,0),∴cos〈,n〉===.结合图知二面角GEFD的大小为45°.(3)解 三棱锥DPAB的体积VD-PAB=VP-DAB=S△ABD·PD=××2×2×2=.13.如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;(2)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.证明 (1)如图,连接OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,x轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).由题意,得G(0,4,0)因为=(8,0,0),=(0,-4,3),所以平面BOE的一个法向量为n=(0,3,4).由=(-4,4,-3),得n·=0,又直线FG不在平面BOE内,所以FG∥平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0,y0,0),则=(x0-4,y0,-3).因为FM⊥平面BOE,9\n所以∥n.因此x0=4,y0=-,即点M的坐标是(4,-,0).在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式组经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△AOB内存在一点M,使FM⊥平面BOE.由点M的坐标得点M到OA,OB的距离分别为4,.9
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:31
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文章作者:U-336598
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