三年模拟一年创新2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东三门模拟)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)A．|2a|＞|2a＋b|B．|2a|＜|2a＋b|C．|2b|＜|a＋2b|D．|2b|＞|a＋2b|解析　因为|a＋b|＝|b|，则|a＋b|2＝|b|2，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＜0，因为|a＋2b|2－|2b|2＝a2＋4a·b＜0，故选D.答案　D2．(2022·河南洛阳模拟)已知向量＝(2，0)，向量＝(2，2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　由题知点A在以C(2，2)为圆心，为半径的圆上，设OD，OE为圆的切线，在△COD中，OC＝2，CD＝，∠CDO＝，所以∠COD＝，又因为∠COB＝，所以当A在D处时，则与夹角最小为－＝，当A在E处时，则与夹角最大为＋＝，∴与夹角的取值范围是，∴故答案为B.答案　B3．(2022·广东实验中学测试)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0且7\n·＝，则△ABC为(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析　设∠BAC的角平分线为AD，则＋＝λ.由已知得AD⊥BC，∴△ABC为等腰三角形．又cosA＝，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形，故选D.答案　D4．(2022·辽宁八校联考)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－)，q＝(cosB，sinB)，p∥q且bcosC＋ccosB＝2asinA，则C＝(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析　因为向量p＝(1，－)，q＝(cosB，sinB)，p∥q，所以sinB＋cosB＝0，即tanB＝－，所以B＝120°.又bcosC＋ccosB＝a＝2asinA，所以sinA＝，即A＝30°.所以C＝30°.故选A.答案　A二、填空题5．(2022·江西南昌二模)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为____________(写出所有真命题的序号)．解析　命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，∴k＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．答案　②一年创新演练6．若向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．7\n解析　因为向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，所以|a|＝1，|b|＝2，a·b＝·cosθ－sinθ，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8－4(cosθ－sinθ)＝8－8cos，所以|2a－b|2的最大值为16，因此|2a－b|的最大值为4.答案　47．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析　若a与b的夹角为锐角，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.答案　∪∪B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·山西四校联考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则在向量方向上的投影为(　　)A.B.C．3D．－解析　△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形，且∠A＝.又因为||＝||，∴∠C＝，∠B＝，∴AB＝，AC＝1，故在方向上的投影||cos＝.答案　A二、填空题9．(2022·泰州市高三期末)在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋4＝0，·＝||·||，Q为边AD上的一个动点，则||的最小值为________．解析　取AB的中点E，连接PE，∵＝2，＝2，7\n∴＝，∴四边形DEBC为平行四边形，∴＝，∵＋＝－2，＋＋4＝0，∴＝2.∵||＝6.∴||＝2，||＝4，设∠ADP＝θ，∵·＝||·||，∴·＝||||cosθ＝||·||，∴cosθ＝，∴sinθ＝，当⊥时，||最小，∴||＝||sinθ|＝2×＝，故答案为：.答案　10．(2022·辽宁抚顺检测)如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且＝t＋(1－t)(0≤t≤1)，则·的最大值为________．解析　∵＝t＋(1－t)，∴B，P，A三点共线，∴＝t，又0≤t≤1，∴P在线段BA上运动．∵Q为上一点，设∠POQ＝θ，∴·＝||||cosθ＝2||cosθ≤2||≤2×2＝4，即当P，Q重合且位于A或B处时，·取得最大值4.答案　4三、解答题7\n11．(2022·湖南张家界5月模拟)已知向量a＝，b＝，且x∈.求：(1)a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求实数λ的值．解　(1)a·b＝cosx·cos－sinxsin＝cos＝cos2x，|a＋b|2＝＋＝2＋2cos2x＝4cos2x，∵x∈，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)∵f(x)＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－4λcosx－1，∴f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]．①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取最小值－1与已知最小值－矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ＝－，解得λ＝与λ>1矛盾．综上所述，λ＝即为所求．12．(2022·东北三校联考)向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.(1)求向量b；(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝，其中A、B、C是△ABC的内角，若△ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．7\n解　(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝.∴解得或∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1)．(2)∵b⊥t，且t＝(1，0)，∴b＝(0，－1)．∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝.∴b＋c＝＝(cosA，cosC)．∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋＝1＋＝1＋cos.∵2A＋∈，∴－1≤cos<，∴≤|b＋c|2<，∴≤|b＋c|<.一年创新演练13．已知向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，其中x∈.(1)若|a－b|＝2，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的值域．解　(1)因为a－b＝(sinx－cosx，0)，所以|a－b|2＝(sinx－cosx)2＝4，所以sinx－cosx＝±2即sin＝±1，因为x∈，所以x＝.(2)因为f(x)＝a·b＝sinxcosx＋sin2x7\n＝sin2x＋＝sin＋，∵x∈，2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，[f(x)]max＝1,当2x－＝，即x＝时，[f(x)]min＝－，所以f(x)的值域为.7