五年高考2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用文全国通用

第二节　平面向量的数量积及其应用考点一　向量的数量积1.(2022·广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)A.5B.4C.3D.2解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.答案　A2.(2022·陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析　对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案　B3.(2022·新课标全国Ⅱ，4)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)A.1B.2C.3D.5解析　因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10.①又因为|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝6.②由①－②得4a·b＝4，即a·b＝1，故选A.答案　A4.(2022·福建，3)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是(　　)10\nA.x＝－B.x＝－1C.x＝5D.x＝0解析　∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(2，1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0.答案　D5.(2022·湖北，7)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C.－D.－解析　∵A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，∴a＝＝(2，1)，b＝＝(5，5).∴向量在方向上的投影为||cos〈a，b〉＝×＝＝.故选A.答案　A6.(2022·湖北，11)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.解析　因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.答案　97.(2022·天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________.解析　在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.10\n答案　8.(2022·重庆，12)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析　因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案　109.(2022·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析　本题考查平面向量数量积的运算.b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)|b|2＝t＋1－t＝1－t＝0⇒t＝2.答案　210.(2022·新课标全国Ⅱ，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析　本题考查向量数量积及运算性质.以{，}为基底，则·＝0，∵＝＋，＝－，∴·＝·(－)＝－||2＋||2＝－×22＋22＝2.答案　2考点二　平面向量的夹角、长度问题1.(2022·重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为π.答案　C2.(2022·湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，10\n动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是(　　)A.[4，6]B.[－1，＋1]C.[2，2]D.[－1，＋1]解析　设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1].答案　D3.(2022·山东，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)A.2B.C.0D.－解析　根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意.答案　B4.(2022·重庆，6)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　)A.B.C.2D.10解析　由a·b＝(x，1)·(1，－2)＝x－2＝0，得x＝2，所以a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.故选B.答案　B5.(2022·湖南，8)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　)A.－1B.C.＋1D.＋2解析　由a·b＝0，得a⊥b，故|a＋b|＝.而1＝|c－a－b|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，10\n则有－1≤|c|－≤1，解得－1≤|c|≤＋1，故|c|的最大值为＋1.答案　C6.(2022·浙江，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.解析　因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.∴|b|＝.答案　7.(2022·四川，14)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______.解析　由已知可以得到c＝(m＋4，2m＋2)，且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，即＝，即＝，解得m＝2.答案　28.(2022·安徽，13)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.解析　∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.答案　－9.(2022·浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________.10\n解析　因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0，y≠0.又|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，＝＝，不妨设＝t，则＝，当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，此时取得最大值，所以的最大值为2.答案　210.(2022·陕西，18)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R).(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.解　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，∴||＝＝2.(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.考点三　向量的应用1.(2022·福建，7)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)A.－B.－C.D.解析　c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，∵b⊥c，∴b·c＝0，b·c＝(1，110\n)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，∴k＝－，故选A.答案　A2.(2022·湖南，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)A.6B.7C.8D.9解析　由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴线段AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)，∴|＋＋|＝，∴当x＝－1时，此式有最大值＝7，故选B.答案　B3.(2022·安徽，10)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.0解析　设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案　B4.(2022·广东，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc.10\n④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4解析　对于①，若向量a，b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c，故正确；对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a＝λb＋μc，故正确；对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误，故选C.答案　C5.(2022·福建，10)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)A.B.2C.5D.10解析　由于·＝1×(－4)＋2×2＝0，故⊥，则该四边形的面积S＝||||＝××＝5.答案　C6.(2022·广东，10)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，则a∘b＝(　　)A.B.C.1D.解析　由已知cosθ＝∈，再根据α·β的定义可知，b∘a＝＝＝cosθ∈；a∘b＝＝＝cosθ∈.(a∘b)(b∘a)＝cos2θ∈.10\n又因为a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，所以n只能取1，此时a∘b＝.答案　D7.(2022·江苏，14)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________.解析　∵ak＝，∴ak·ak＋1＝·＝cos·cosπ＋·＝cos＋cosπ＋sinπ.故ak·ak＋1=＝cos＋cosπ＋sinπ.由cosπ＝0，sinπ＝0，得ak·ak＋1＝cos×12＝9.答案　98.(2022·浙江，15)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________.解析　以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|·sinθ＝|β|sinθ＝，∴sin10\nθ＝.又∵|β|≤1，∴≥，即sinθ≥且θ∈[0，π].∴θ∈.答案　10