三年模拟一年创新2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用文全国通用

第二节　平面向量的数量积及其应用A组　专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·晋冀豫三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　∵a＝(1，k)，b＝(2，2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又∵a＋b与a共线，∴3×2－(k＋2)·2＝0，即k＝1，故a·b＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.答案　D2.(2022·洛阳市高三统考)设等边△ABC边长为6，若＝3，＝，则·等于(　　)A.－6B.6C.－18D.18解析　令＝c，＝b，则＝＋＝－c＋b，＝＋＝b＋c，·＝·＝－b2＝－18.答案　C3.(2022·郑州模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.于是f(x)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又∵|a|≠|b|，∴|b|2－|a|2≠0.∴f(x)为一次函数且是奇函数.答案　A4.(2022·广州模拟)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，在方向上的投影为(　　)A.－3B.－C.D.3解析　由＋＋＝0得＝－＝，5\n∴四边形OBAC为平行四边形.又||＝||，∴四边形OBAC为边长为2的菱形.∴∠ACB＝.∴三角形OAB为正三角形，∵外接圆的半径为2，∴在方向上的投影为||cos＝2×＝.故选C.答案　C一年创新演练5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________.解析　依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB＞0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案　－16.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.解析　法一　以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1).所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，故·的最大值为1.5\n法二　·＝(＋)·＝(＋)·＝||2＋·，∵⊥，∴·＝0.∴·＝12＋0＝1.·＝(＋)·＝·＋·＝λ||2(0≤λ≤1)，∴·的最大值为1.答案　1　1B组　专项提升测试　　　　　　　　　　　　　　　三年模拟精选一、选择题7.(2022·郑州市一测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　　)A.－1B.－C.D.2解析　注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，＋＝2.又－＝＋＝，且||＝T＝×＝1，因此(＋)·(－)＝22＝2.答案　D8.(2022·唐山一中高三期中)若a，b，c均为单位向量，a·b＝－，c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y的最大值是(　　)A.2B.C.D.1解析　由c·c＝(xa＋yb)·(xa＋yb)＝x2＋y2－xy＝1，5\n得(x＋y)2－1＝3xy≤3·即(x＋y)2≤4，故(x＋y)max＝2.答案　A9.(2022·辽宁大连检测)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.答案　D二、解答题10.(2022·山东烟台上学期期中)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.解　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－，5\n又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.一年创新演练11.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·等于(　　)A.4B.6C.1D.2解析　由条件可得B(3，1)，A(2，0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案　B12.已知向量a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(　　)A.[－2，2]B.[－2，3]C.[－3，2]D.[－3，3]解析　依题意得2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即z＝2x＋3y.如图，在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域(图中阴影部分)及直线2x＋3y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(0，1)与(0，－1)时，相应直线在x轴上的截距分别取到最大值与最小值，因此z＝2x＋3y的最大值与最小值分别是3、－3，z的取值范围为[－3，3]，选D.答案　D5