五年高考真题2022届高考数学复习第五章第二节平面向量的数量积及其应用理全国通用

考点一　向量的数量积1．(2022·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||·||cos30°＝a2×＝a2.答案　D2．(2022·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥解析　由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.答案　D3．(2022·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A．20B.15C．9D．6解析　＝＋，＝－＝－＋，10\n∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.答案　C4．(2022·福建，9)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)A．13B．15C．19D．21解析　建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.答案　A5．(2022·新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)A．1B．2C．3D．5解析　由向量的数量积运算可知，∵|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，∴a2＋b2＋2a·b＝10，①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.答案　A6．(2022·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　)A．2B.C．1D.10\n解析　由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.答案　B7．(2022·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析　∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.答案　8．(2022·江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案　9．(2022·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．解析　∵＝λ＋，⊥，又＝－，∴(－)·(＋λ)＝0.∴2＋λ·－·－λ2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝.10\n答案　10．(2022·北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．解析　如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.答案　1　1考点二　平面向量的长度与角度问题1．(2022·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D．π解析　由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×－cosθ－2＝0，cosθ＝，θ＝，选A.答案　A2．(2022·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2解析　对于A，由|a·b|＝||a||b|cos<a，b>|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.答案　B3.(2022·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)10\nA.B.C.D.解析　如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0，1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)·＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1)．因为·＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.因为＝＋＝(λ－，λ＋1)．＝＋＝(－μ，μ＋1)，又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由整理得λ＋μ＝.选C.答案　C4．(2022·辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)A.－1B．1C.D．2解析　设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又a＋b－c＝(1－x，1－y)，∴|a＋b－c|＝＝①|a＋b－c|＝＝……10\n＝＝，由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.答案　B5．(2022·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________．解析　在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×cos60°＋λ×cos120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.答案　6．(2022·湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.解析　(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.答案　±310\n7．(2022·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析　因为＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.答案　228．(2022·浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析　|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∴＝，当x＝0时，＝0；当x≠0时，＝＝≤2.答案　29．(2022·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析　∵b·c＝0，∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－t)·b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，a，b＝60°，∴t＋1－t＝0，t＝2.答案　210．(2022·新课标全国，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析　|2a－b|＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3或|b10\n|＝－(舍去)．答案　3考点三　数量积的综合应用1．(2022·浙江，7)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC解析　设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2，0)，B(2，0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，∴＝(2－x，0)，＝(a－x，b)，∴＝(1，0)，＝(a－1，b)，则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立，∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立，∴a＝0，即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC，选D.答案　D2．(2022·广东，8)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)A.B．1C.D.解析　由定义知a∘b＝＝＝cosθ.b∘a＝＝＝cosθ.∵a∘b，b∘a∈.设a∘b＝，b∘a＝(m，n∈Z)．则cosθ＝，cosθ＝，两式相乘，得cos2θ＝.10\n又∵θ∈，∴cosθ∈，cos2θ∈，∴mn＝4cos2θ∈(2，4)．又∵m，n∈Z，m>0，n>0，m>n，∴m＝3，n＝1，∴a∘b＝＝.答案　C3．(2022·浙江，15)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.解析　∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋(y－2)2＋t2取到最小值．此时t2＝1，故|b|＝＝2.答案　1　2　24．(2022·广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值．10\n(2)若m与n的夹角为，求x的值．解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.10