三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第二节空间几何体的表面积和体积理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)A．2　　　B.C.　　　D．3解析　根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝××2x＝3⇒x＝3.故选D.答案　D2．(2022·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m，表面积为n，一个球的半径为p，表面积为q.若＝2，则＝(　　)A.B.C.D.解析　由题意可以得到n＝6m2，q＝4πp2，所以＝＝×4＝，故选B.答案　B3．(2022·合肥一模)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．54B．58C．60D．63解析　由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S表＝6×32＋2×1×3＝60.5\n答案　C4．(2022·浙江宁波质检)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　)A．72πB．48πC．30πD．24π解析　由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案　C二、填空题5．(2022·山东德州一模)圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为______cm2.解析　设实心铁球的半径为R，则R3＝π×102×，得R＝5cm，故这个铁球的表面积为S＝4πR2＝100π(cm2)．答案　100π一年创新演练6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)A.＋B.＋C.＋D.＋解析　据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝，∴该几何体的体积为V＝V半球＋VPABC5\n＝×π＋××BA·BC·PB＝＋.答案　CB组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为(　　)A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析　该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如图，表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案　C8.(2022·山东潍坊一中月考)四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)A．12πB．24πC．36πD．48π解析　将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥PABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体的面对角线长也是2，可得AG＝＝a，所以正方体的棱长a＝2，在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AO＝，5\n即四棱锥PABCD的外接球半径R＝，从而得外接球表面积为4πR2＝12π，故选A.答案　A二、填空题9．(2022·山东聊城4月)用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为cm和cm，其余四根的长度均为1cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.解析　由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝，AC＝，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连接SO、OB，则SO⊥AC，所以SO＝＝，OB＝AC＝，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱锥的体积V＝××＝.答案　三、解答题10.(2022·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为h2＝＝4.故几何体的侧面面积为：S＝2×(×8×5＋×6×4)＝40＋24.11.(2022·烟台调研)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；5\n(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为＝.∴S侧＝3××2×＝9.∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VPABC＝VOPAB＋VOPBC＋VOPAC＋VOABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r.又VPABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2.∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.一年创新演练12．如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．解　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件得解得r＝，l＝4.所以S＝πrl＋πr2＝10π，h＝＝，V＝πr2h＝.5