三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第二节空间几何体的表面积与体积文全国通用

第二节　空间几何体的表面积与体积A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)A.4，8B.4，C.4(＋1)，D.8，8解析　由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为××2×4＝4，其体积为×22×2＝.答案　B2.(2022·湖北八校联考)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是(　　)A.B.4C.D.3解析　该截面将正方体分成两个完全相同几何体，因此该几何体的体积为×23＝4.答案　B二、填空题6\n3.(2022·四川广安诊断)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________.解析　S△EBC＝，VP－EBC＝×2×＝.答案　4.(2022·河南方城一中第一次调研)已知正四棱锥的底边长和侧棱长均为3，则该正四棱锥的外接球的表面积为________.解析　∵正四棱锥的底边长和侧棱长均为3，∴此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是3，∴该正四棱锥的外接球的表面积为4π×32＝36π.答案　36π一年创新演练5.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是________cm，表面积是________cm2.解析　设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋36，解得r＝10.所以表面积为4πr2＝4π×100＝400π.答案　10　400π6.已知一轴截面为锐角三角形的圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于________.解析　过圆锥顶点的截面面积最大时该截面通过轴线，设轴截面三角形的顶角为θ，则·4·4·sinθ＝4，解得sinθ＝，所以θ＝，所以圆锥底面半径r＝2，故该圆锥侧面展开图的扇形圆心角α＝＝＝π.答案　πB组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，6\n则三棱锥D1B1C1E的体积等于(　　)A.B.C.D.解析　VD1B1C1E＝S△B1C1E·D1C1＝××1×1×1＝.答案　D8.(2022·忻州四校联考)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为(　　)A.B.3C.4D.解析　由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，且切去棱台的下底面直角三角形的直角边长为1，其直观图如图：∴截面为等腰梯形，且两底边长分别为，2，腰长为，∴梯形的高为＝，∴截面面积S＝×＝.故选A.答案　A9.(2022·东北三校联考)点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为(　　)6\nA.B.8πC.D.解析　如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝，AC＝2可知∠ABC＝，即△ABC所在的小圆的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当D为O1O的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋，此时VABCD＝×S△ABC×DO1＝(R＋)＝，解得R＝，故这个球的表面积为4π＝.答案　C二、填空题10.(2022·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.解析　由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝×(π×AD2＋＋π×BC2)×AB＝×π×(AD2＋AD×BC＋BC2)×AB＝×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝π×AD3×＝π×23×＝π(cm3)，所以旋转所形成的几何体的体积V＝V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).答案　πcm36\n一年创新演练11.圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.解析　设实心铁球的半径为R，则R3＝π×102×，得R＝5cm，故这个铁球的表面积为S＝4πR2＝100π(cm2).答案　100π12.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝，AD＝DE＝2，G为AD的中点.(1)在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；(2)求三棱锥GBCE的体积.解　(1)由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，设F是CE的中点，H是CD的中点，连接BF，FH，AH，∴FH∥ED，FH＝ED.∵AB＝1，DE＝2，∴AB＝DE，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH.∵AH⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，∴BF∥平面ACD.(2)∵DE⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，在平面ACD内，作CF⊥AD于P，∵平面ABED∩平面ACD＝AD，∴CP⊥平面ABED，∴CP为三棱锥CBGE的高，∵VGBCE＝VCBGE＝S△BGE·CP，且S△BGE＝S梯形ABED－S△ABG－S△EDG＝，6\n由三角形的等面积法得CP＝，∴VGBCE＝VCBGE＝S△BGE·CP＝.6