五年高考真题2022届高考数学复习第八章第二节空间几何体的表面积和体积理全国通用

考点一　几何体的表面积1．(2022·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析　由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案　D2.(2022·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)A．1＋B．2＋C．1＋2D．2解析　由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选B.答案　B3．(2022·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36πB．64πC．144πD．256π9\n解析　如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO－ABC最大＝VC－OAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π，选C.答案　C4．(2022·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．54B．60C．66D．72解析　该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S＝×3×4＋×3×5＋×5＋×4＋3×5＝60.选B.答案　B5．(2022·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2解析　由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S＝3×5＋2××4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm2)．答案　D6．(2022·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)9\nA.B．16πC．9πD.解析　设球的半径为R，由题意可得(4－R)2＋()2＝R2，解得R＝，所以该球的表面积为4πR2＝.故选A.答案　A7．(2022·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)A．21＋B．18＋C．21D．18解析　根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－×1×1)＋2××()2＝6×＋＝21＋.故选A.答案　A8．(2022·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析　由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2××(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋]×4＝92.答案　92考点二　几何体的体积1．(2022·山东，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD9\n绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)A.B.C.D．2π解析　如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V＝π×12×2－π×12×1＝π.答案　C2．(2022·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析　这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.答案　A3．(2022·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)A.B.C.D.解析　如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为9\n＝＝＝，选D.答案　D4．(2022·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)(　　)A.B.C.D.解析　易知原工件为一圆锥，V1＝πr2h＝π，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则a＝b.由截面图的相似关系知，c＋＝2，即c＋a＝2，∴V长方体＝abc＝a2c＝a2(2－a)，设g(a)＝2a2－a3，则g′(a)＝4a－3a＝0，令g′(a)＝0，解得a＝，所以令a＝时，V长方体最大为，∴＝＝.故选A.答案　A5．(2022·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)9\nA.B．4πC．2πD.解析　如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC＝，∴对角面ACC1A1为正方形，∴外接球直径2R＝A1C＝2，∴R＝1，∴V球＝，故选D.答案　D6．(2022·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)A.B.C.D.解析　圆锥的体积V＝πr2h＝πh＝，由题意得12π≈，π近似取为，故选B.答案　B7．(2022·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)A.B.C.D.解析　由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2cm，高为4cm；另一个圆柱的底面半径为3cm，高为2cm.则零件的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm3)．而毛坯的体积V＝π×32×6＝54π(cm3)，因此切削掉部分的体积V2＝V－V1＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.故选C.答案　C8．(2022·新课标全国，11)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，9\n△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)A.B.C.D.解析　如图，H为△ABC的外接圆圆心，则∠BHC＝120°，设△ABC的外接圆半径为r，则1＝BC2＝HC2＋HB2－2HC·HB·cos120°＝3r2，∴r＝.连接OH，根据球的截面性质知，OH⊥平面ABC，∴OH＝＝＝.∵O为SC的中点，∴S到平面ABC的距离为2OH＝，∴VSABC＝S△ABC×＝××＝.答案　A9．(2022·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案　10．(2022·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．解析　设圆柱甲的底面半径为r1，高为h1，圆柱乙的底面半径为r2，高为h2.由题意得＝＝，∴＝.又∵S甲侧＝S乙侧，即2πr1h1＝2πr2h2，∴＝＝，故＝＝·＝×＝.9\n答案　11.(2022·江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析　由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝＝1∶24.答案　1∶2412．(2022·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析　由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6m，3m，1m的长方体，底部为两个直径为3m的球．故该几何体的体积为V＝6×3×1＋2×π×＝18＋9π(m3)．答案　18＋9π13．(2022·湖南，18)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积．解　如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h)．(1)证明　易知＝(－4，2，0)，9\n＝(2，4，0)，＝(0，0，h)．因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，即＝.由(1)知，＝(－4，2，0)，＝(0，0，－h)．又＝(4，0，－h)，故＝解得h＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥PABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.9