【三维设计】2022届高考数学一轮复习 教师备选作业 第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理

第七章第二节空间几何体的表面积和体积一、选择题1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为(　　)A.π　　　　　　　　　　B.πC.πD.π2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　　)A．8－B．8－C．8－2πD.3．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为(　　)A.B.C.D.4．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为(　　)A.B.C.a3D.a35．如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为(　　)-6-\nA．4B．4C．2D．26．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)A.πB.πC.πD.π二、填空题7．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.9．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．-6-\n三、解答题10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的体积．12．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.详解答案一、选择题1．解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，设底面圆的半径为r，则有2πr＝π，得r＝，于是圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝π.答案：C2．解析：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V-6-\n＝23－×π×12×2＝8－π.答案：A3．解析：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径．设侧棱长为a，球半径为r.∵r＝1，∴a＝2r＝2，∴a＝.答案：B4．解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D－ABC的高为DE＝a，所以三棱锥D－ABC的体积V＝·a2·a＝a3.答案：D5．解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC＝2，BD＝2，高OP＝3，其体积V＝×(×2×2)×3＝2.答案：C6．解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×()3＝.答案：C二、填空题7．解析：依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PA＝××22×3＝.答案：8．解析：由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3)．答案：49．解析：依题意可知，在该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面四边形ABCD是边长为a的正方形，因此有PD⊥CD，PB⊥BC，PB＝PD＝a，所以该四棱锥的表面积等于a2＋2×-6-\na2＋2××a×a＝(2＋)a2.答案：(2＋)a2三、解答题10．解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8、6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1＝＝5，左、右侧面的底边上的高h2＝＝4，故几何体的侧面积S＝2×(×8×5＋×6×4)＝40＋24.11.解：V棱柱＝3×4÷2×6＝36(cm3)．设圆柱底面圆的半径为r，(3－r)＋(4－r)＝5，r＝1.V圆柱＝πr2·h＝6π(cm3)．V＝V棱柱－V圆柱＝(36－6π)cm3.12．解：(1)令PA＝x(0<x<2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x，因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，所以VA′－PBCD＝Sh＝(2－x)(2＋x)x＝(4x－x3)，令f(x)＝(4x－x3)，由f′(x)＝(4－3x2)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以，当x＝时，f(x)取得最大值，-6-\n即：当VA′－PBCD取得最大时，PA＝.(2)证明：设F为A′B的中点，连接PF，FE.则有EF綊BC，PD綊BC，∴EF綊PD四边形EFPD为平行四边形．所以DE∥PF，又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.-6-