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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积课时作业 理.DOC
【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积课时作业 理.DOC
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课时作业45 空间几何体的表面积与体积一、选择题1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A.7B.6C.5D.3解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.答案:A2.设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于( )A.B.C.D.解析:设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则==.答案:D3.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )A.38+πB.38+2π9\nC.40+πD.40+2π解析:由三视图可知,该组合体下方是一个长方体,上方是一个半圆柱,所以表面积为2(4×2+4×2+2×2)-2+×2π×1+π=38+2π.答案:B4.(2014·陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.B.4πC.2πD.解析:依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R==2,解得R=1,所以V=R3=.答案:D5.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高之比为( )A.12B.12πC.21D.1π解析:设底面周长为xcm,则2πr=x,即r=,高为6-x,故V=π·2(6-x)=(6x2-x3),则V′=(12x-3x2),由V′=0得x=4.易知当x=4时,圆柱的体积最大,此时圆柱的底面周长是4cm,圆柱的高为2cm,从而底面周长与高之比为42=21.答案:C6.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如右图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )9\nA.B.C.D.解析:由三视图可知切削得到的零件是由两个圆柱组成的一个组合体,一个是底面半径为2,高为4的圆柱,一个是底面半径为3,高为2的圆柱,于是零件的体积V1=πrh1+πrh2=π×22×4+π×32×2=34π,而原来毛坯的体积V=πr2h=π×32×6=54π,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值之比===,故选C.答案:C二、填空题7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h,则∴∴h=.∴V圆锥=π×12×=π.答案:π8.(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且=,则的值是________.解析:设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1,r2、h2;由题意知2πr1h1=2πr2h2,=,又==,所以=,从而==·=·==.答案:9.已知三棱锥O—ABC中,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=AC=,BC=,O,A,B,C四点均在球S的表面上,则球S的表面积为________.解析:易知以O点为顶点的三条棱两两垂直,则球S即为以O为顶点,以OA,OB,OC为棱的长方体的外接球,所以2R==×=(R为球S的半径),所以R=,表面积S=4πR2=.答案:三、解答题9\n10.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为.所以V=1×1×=.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,所以S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.9\n11.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求三棱锥E—BCD的体积.解:(1)证明:如图,取BC的中点G,连接AG,EG,因为E是B1C的中点,所以EG∥BB1,且EG=BB1.由题意知,AA1綊BB1.而D是AA1的中点,所以EG綊AD.所以四边形EGAD是平行四边形.所以ED∥AG.又DE⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC.(2)因为AD∥BB1,所以AD∥平面BCE.所以VE—BCD=VD—BCE=VA—BCE=VE—ABC.由(1)知,DE∥平面ABC,9\n所以VE—BCD=VE—ABC=VD—ABC=AD·BC·AG=×3×6×4=12.1.(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A1B1C1—ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等,故半径r==2.故选B.答案:B2.(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈9\nL2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析:借助圆锥的体积公式,底面圆的面积、周长公式求解.设圆锥的底面圆半径为r,则圆锥的底面圆周长L=2πr,所以圆锥底面圆的半径r=,则圆锥的体积为V=Sh=πr2h=π·h=L2h.又V≈L2h,所以L2h≈L2h,解得π≈.答案:B3.如图,在三棱锥D—ABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥D—ABC的体积的最大值是________. 解析:由题意知,线段AB+BD与线段AC+CD的长度是定值,因为棱AD与棱BC相互垂直.设d为AD到BC的距离.则VD—ABC=AD·BC×d××=2d,当d最大时,VD—ABC体积最大,∵AB+BD=AC+CD=10,∴当AB=BD=AC=CD=5时,d有最大值=.此时V=2.答案:29\n4.如图所示,从三棱锥P—ABC的顶点P沿着三条侧棱PA,PB,PC剪开成平面图形得到△P1P2P3,且P2P1=P2P3.(1)在三棱锥P—ABC中,求证:PA⊥BC.(2)若P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥P—ABC的体积.解:(1)证明:由题设知A,B,C分别是P1P3,P1P2,P2P3的中点,且P2P1=P2P3.从而PB=PC,AB=AC,取BC的中点D,连AD,PD,则AD⊥BC,PD⊥BC,AD∩PD=D,∴BC⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,故PA⊥BC.(2)由题设有AB=AC=P1P2=13,PA=P1A=BC=10,PB=PC=P1B=13,∴AD=PD==12,在等腰三角形DPA中,底边PA上的高h==,∴S△DPA=PA·h=5.又BC⊥平面PAD,∴VP—ABC=VB—PDA+VC—PDA9\n=BD·S△DPA+DC·S△PDA=BC·S△PDA=×10×5=.9
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:48:15
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