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【三维设计】2022届高考数学一轮复习 教师备选作业 第七章 第六节 空间向量及其运算 理
【三维设计】2022届高考数学一轮复习 教师备选作业 第七章 第六节 空间向量及其运算 理
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第七章第六节空间向量及其运算一、选择题1.已知向量a=(8,x,x),b=(x,1,2),其中x>0.若a∥b,则x的值为( )A.8B.4C.2D.02.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三个向量共面,则实数λ等于( )A.B.C.D.3.如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则a2等于( )A.2·B.2·C.2·D.2·4.已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别是边OA、CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,则用向量,,表示向量正确的是( )A.=++B.=++C.=++D.=++5.有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③已知{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )-6-\nA.①②B.①③C.②③D.①②③6.二面角α-l-β为60°,A、B是棱l上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为( )A.2aB.aC.aD.a二、填空题7.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ=________.8.已知空间四边形OABC,点M、N分别是OA、BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=________.9.给出命题:①若a与b共线,则a与b所在的直线平行;②若a与b共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa;③若A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,=++,则点M一定在平面ABC上,且在△ABC的内部.其中真命题是________.三、解答题10.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且a≠b,记|a-b|=m,求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值.11.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求MN的长.-6-\n12.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.详解答案一、选择题1.解析:a∥b且x>0⇔存在λ>0,使a=λb⇔(8,x,x)=(λx,λ,2λ)⇔⇔答案:B2.解析:由于a,b,c三个向量共面,所以存在实数m,n使得c=ma+nb,即有,解得m=,n=,λ=.答案:D3.解析:2·=2·a·a·cos60°=a2.答案:B4.解析:=+=+=+(-++-6-\n-)=++.答案:C5.解析:对于①,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以①错误.②③正确.答案:C6.解析:∵AC⊥l,BD⊥l,∴〈,〉=60°,且·=0,·=0,∴=++,∴||===2a.答案:A二、填空题7.解析:cos〈a,b〉===,解得λ=1.答案:18.解析:如图,=(+)=[(-)+(-)]=(+-2)=(+-)=(b+c-a)答案:(b+c-a)9.解析:①中a与b所在的直线也有可能重合,故①是假命题;②中当a=0,b≠0时,找不到实数λ,使b=λa,故②是假命题;可以证明③中A,B,C,M四点共面,因为++=,等式两边同时加上,则(+)+(+)+(+)=0,即++=0,=--,则与,共面,又M是三个有向线段的公共点,故A,B,C,M四点共面,所以M是△ABC的重心,所以点M在平面ABC上,且在△ABC的内部,故③是真命题.-6-\n答案:③三、解答题10.解:取x轴正方向的任一向量c=(x,0,0)(x>0),设所求夹角为α,∵(a-b)·c=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)·(x,0,0)=(a1-b1)x,∴cosα===.故a-b与x轴正方向的夹角的余弦值为.11.解:(1)证明:设=p,=q,=r.由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量两两夹角均为60°.=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos60°+a2cos60°-a2)=0.∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知=(q+r-p),∴||2=2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]=[a2+a2+a2+2(--)]=×2a2=.∴||=a.∴MN的长为a.12.解:(1)证明:设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,∴=b+c,=-c+b-a.-6-\n∴·=-c2+b2=0,∴⊥,即CE⊥A′D.(2)=-a+c,∴||=|a|,||=|a|.·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2,∴cos〈,〉==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.-6-
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 14:58:10
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文章作者:U-336598
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