【三维设计】2022届高考数学一轮复习 教师备选作业 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 理

第四章第一节平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)A．＝＋　　　　　　　　B．＝－C．＝－＋D．＝－－2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)A.B.C.D．13．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)A．P、A、B三点共线B．P、A、C三点共线C．P、B、C三点共线D．以上均不正确4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)A．重心　外心B．重心　内心C．外心　重心D．外心　内心5.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b6．已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ＞0)，＝μ(μ＞0)，则＋的最小值是(　　)A．9B.-5-\nC．5D.二、填空题7．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．8．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．三、解答题10.△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.11．已知＝λ＋μ(λ、μ为实数)，若A、B、C三点共线，求证λ＋μ＝1.12．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．-5-\n详解答案一、选择题1．解析：由减法的三角形法则知＝－.答案：B2．解析：∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．∴N为AM中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝(x＋y)＝.答案：A3．解析：∵＋＝2，∴－＝－.即＝，∴P、A、C三点共线．答案：B4．解析：由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；＋＋＝0，知，N为△ABC的重心．答案：C5.解析：＝－＝a－b，又＝3，∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.答案：B6．解析：由题意得，＋＝2＝λ＋μ⇔＝＋，又D、E、F在同一条直线上，可得＋＝1.所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D二、填空题7．解析：设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．-5-\n答案：(－4，－2)8．解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4.答案：±49.解析：由于点P落在第Ⅲ部分，且＝a＋b，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a＞0，b＜0.答案：＞　＜三、解答题10.解：　⇒＝＝b，＝－＝b－a.由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．又AM是△ABC的中线，DE∥BC，得＝＝(b－a)．又＝(＋)＝(a＋b)．⇒＝＝(a＋b)．11．证明：∵＝λ＋μ∴＝－＝(λ－1)＋μ＝－＝λ＋(μ－1)又∵A、B、C三点共线∴＝k即＝＝k∴λ＋μ＝1.12．解：依题意，由＝＋λa＋λb，得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则＝λ，∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点．-5-\n-5-