三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第六节直线与圆锥曲线的位置关系理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·嘉兴一模)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.答案　B2.(2022·合肥模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.答案　B9\n3．(2022·石家庄二模)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为(　　)A．16B.C．4D.解析　由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，yA＝，xD＝4，yD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0，1)，且该圆圆心为F(0，1)，∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，∴＝＝，故选B.答案　B4．(2022·沈阳二模)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为(　　)A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1解析　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B，D的坐标分别为(1，0)，(1，)，∴＝(1，0)，＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得＝x＋y，∴据题意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1.答案　D二、填空题9\n5．(2022·山东济宁模拟)已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是__________________．解析　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．答案　4x－y－7＝0一年创新演练6．直线y＝x－1与双曲线x2－＝1(b>0)有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是(　　)A．(1，)B．(，＋∞)C．(1，＋∞)D．(1，)∪(，＋∞)解析　由题意可知当双曲线的渐近线斜率不等于±1时，即±≠±1时，即有两个不同的交点，所以b≠1，∴≠，所以正确选项为D.答案　D7．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(2，1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．解析　设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0，∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即AB的直线方程为2x＋y－4＝0，∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0；b－4＝0，解得c＝2，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.故答案为＋＝1.答案　＋＝1B组　专项提升测试三年模拟精选9\n一、选择题8．(2022·东营模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)A．5B．4C．3D．2解析　记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.答案　C二、填空题9．(2022·泉州质检)若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异的两点A，B，则a的取值范围是________．解析　设抛物线上的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝x＋b，代入抛物线方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1)＝0，则x1＋x2＝.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝，y0＝x0＋b＝＋b.由于M(x0，y0)在直线x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此得b＝－，此时ax2－x－(b＋1)＝0变为ax2－x－＝0.由Δ＝1＋4a>0，解得a>.答案　三、解答题10．(2022·济宁模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．9\n(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝.又＝，解得a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得32(6k＋3)＝0，解得k＝－.所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.11．(2022·广州模拟)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(0，1)．(1)求椭圆方程；(2)过A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M，N，求证：直线MN恒过定点P.9\n(1)解　由题意知，e＝＝，b＝1，a2－c2＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明　设直线l1的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由方程组得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，解得x1＝－，x2＝0，所以xM＝－，yM＝，用－代替上面的k，可得xN＝，yN＝.因为kMP＝＝＝，kNP＝＝＝，所以kMP＝kNP，因为MP，NP共点于P，所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P(0，－)．12．(2022·太原二模)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解　(1)如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F2(c，0)．因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，∠B1AB2为直角，9\n从而|OA|＝|OB2|，即b＝，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由题意，直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x＝my－2.代入椭圆的方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1y2＝，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－＋16＝－，由PB2⊥QB2，知·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.一年创新演练13．已知抛物线Γ：x2＝2py和点M(2，2)，若抛物线Γ上存在不同两点A，B满足＋9\n＝0.(1)求实数p的取值范围；(2)当p＝2时，抛物线Γ上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Γ在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)不妨设A，B，且x1<x2，∵＋＝0，∴(2－x1，2－)＋(2－x2，2－)＝0.∴x1＋x2＝4，x＋x22＝8p.∵x＋x>(x1≠x2)，即8p>8，∴p>1，即p的取值范围为(1，＋∞)．(2)当p＝2时，由(1)求得A，B的坐标分别为(0，0)，(4，4)．假设抛物线Γ上存在点C(t≠0且t≠4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Γ在点C处有相同的切线．设经过A，B，C三点的圆N的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则整理得t3＋4(E＋4)t－16(E＋8)＝0.①∵函数y＝的导数为y′＝，∴抛物线Γ在点C处的切线的斜率为，∴经过A，B，C三点的圆N在点C处的切线斜率为，且该切线与直线NC垂直．∵t≠0，∴直线NC的斜率存在．∵圆心N的坐标为，9\n∴＝－，即t3＋2(E＋4)t－4(E＋8)＝0.②∵t≠0，由①②消去E，得t3－6t2＋32＝0，即(t－4)2(t＋2)＝0，∵t≠4，∴t＝－2.故满足题设的点C存在，其坐标为(－2，1)．9