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全国通用2022高考数学二轮复习专题五第2讲直线与圆锥曲线的位置关系训练文
全国通用2022高考数学二轮复习专题五第2讲直线与圆锥曲线的位置关系训练文
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第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2022·长沙模拟)若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )A.B.C.D.解析 由题意知抛物线的焦点为F,AB垂直于x轴,设与抛物线的一个交点A(x0,),代入抛物线方程可解得x0=1,即AB直线方程为x=1,所以焦点F到直线AB的距离为.答案 A2.已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析 设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),因为A,P在双曲线上,所以两式相减,得kPAkPB==,所以e2==,故e=.答案 D3.(2022·四川卷)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A.B.2C.6D.4解析 右焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x2-=0,将x=2代入渐近线方程得y2=12,∴y=±2,∴A(2,2),B(2,-2),∴|AB|=4.6\n答案 D4.(2022·唐山模拟)已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( )A.2B.2C.8D.2解析 根据已知条件得c=,则点在椭圆+=1(m>0)上,∴+=1,可得m=2.答案 B5.(2022·湖州一模)已知抛物线y2=4px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )A.B.+1C.+1D.解析 依题意,得F(p,0),因为AF⊥x轴,设A(p,y),y>0,y2=4p2,所以y=2p.所以A(p,2p).又点A在双曲线上,所以-=1.又因为c=p,所以-=1,化简,得c4-6a2c2+a4=0,即-6+1=0.所以e2=3+2,e=+1.答案 B二、填空题6.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,则弦|MN|的长为________.解析 由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关系,得xM+xN=,xM·xN=-.由弦长公式|MN|=|xM-xN|=·==.答案 7.(2022·南阳模拟)直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是________.解析 设A(x1,y1)、B(x2,y2),6\n由消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,由题意得∴即k=2.答案 28.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则∴+=0,∴=-·.∵=-,x1+x2=2,y1+y2=2,∴-=-,∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴=.答案 三、解答题9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.解 (1)将(0,4)代入C的方程得=1,∴b=4.又由e==,得=,即1-=,6\n∴a=5,∴C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,解得x1=,x2=.设线段AB的中点坐标为(x′,y′),则x′==,y′==(x1+x2-6)=-,即中点坐标为.10.(2022·福建卷)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA==,kGB==-.所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二 (1)解 同法一.6\n(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0.解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0.从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0.所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.11.(2022·济南模拟)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆T上两点,N(3,1)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C,D两点.(1)求直线AB的方程;(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.解 (1)离心率e=,椭圆T:x2+3y2=a2(a>0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,设直线AB的方程为y=k(x-3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.①Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,②x1+x2=,由N(3,1)是线段AB的中点,得=3.解得k=-1,代入②得a2>12,直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.(2)因为CD垂直平分AB,所以直线CD的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0,代入椭圆方程,整理得4x2-12x+12-a2=0.6\n又设C(x3,y3),D(x4,y4),所以x3+x4=3,x3x4=,y3y4=(x3-2)(x4-2)=.假设存在这样的椭圆使得以CD为直径的圆过原点O,则x3x4+y3y4=0,得a2=8,又a2>12,故不存在这样的椭圆.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:52:24
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文章作者:U-336598
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