五年高考真题2022届高考数学复习第九章第六节直线与圆锥曲线的位置关系理全国通用

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系1．(2022·重庆，10)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析　由题意A(a，0)，B，C，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BD⊥AC得·＝－1，解得c－x＝，所以c－x＝＜a＋＝a＋c，所以＜c2－a2＝b2⇒＜1⇒0＜＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A.答案　A2．(2022·辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)A.B.C.D.解析　∵A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.答案　D3．(2022·新课标全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)25\nA.B.C.D.解析　易知直线AB的方程为y＝(x－)，与y2＝3x联立并消去x得4y2－12y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故选D.答案　D4．(2022·大纲，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析　如图：设直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x，代入椭圆方程＋＝1，并整理得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝，∴x＝，∴M点坐标为.设直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得N点坐标为，∵kA1M＝＝，kA1N＝＝.25\n∴直线PA1斜率的取值范围是.答案　B5．(2022·全国，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于(　　)A.B.C．－D．－解析　联立不妨设A在x轴上方，则A(4，4)，B(1，－2)．∵F点的坐标为(1，0)，∴＝(3，4)，＝(0，－2)，∴cos∠AFB＝＝＝－.答案　D6．(2022·山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析　由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p·x，∴x＝，y＝，∴A.设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴·＝－1，∴＝.25\n设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.答案　7．(2022·浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.解析　曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d＝－＝，所以曲线C1到l的距离为，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a>x，∴x2－x＋a>0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.答案　8．(2022·浙江，19)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由25\n消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·.且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.9．(2022·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，25\n将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C的坐标为，且AB＝＝＝.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，则P点的坐标为，从而PC＝.因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.10．(2022·天津，19)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解　(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有＋＝，25\n解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.11．(2022·北京，19)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB25\n与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝.又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．12．(2022·山东，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．25\n(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.(ⅰ)证明直线AE过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)由题意知F.设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝|t－|，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)(ⅰ)由(1)知F(1，0)，设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)．故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝－＝，可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，25\n直线AE恒过点F(1，0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0)．(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝＝＝4.则△ABE的面积S＝×4≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.13．(2022·新课标全国Ⅱ，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．25\n解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝.所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.所以a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，解得或所以可得|AB|＝；由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，将y＝x＋m代入＋＝1得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，则|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.考点二　轨迹与轨迹方程1．(2022·四川，20)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，125\n)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，因此解得a＝2，b＝，所以椭圆E方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)，当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)，由＝，有＝，解得y0＝1，或y0＝2，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)，下面证明：对任意直线l，均有＝，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，25\n因此＋＝＝2k，易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，又kQA＝＝＝k－，kQB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以＝＝＝，故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．2．(2022·广东，20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解　(1)由题意知c＝，e＝＝，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设两切线为l1，l2，①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2)；②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，则l2的斜率为－，l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，与＋＝1联立，整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0，∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0，得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，25\n∴－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0，∴(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0，∴k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的一个根，同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的另一个根，∴k·＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠±3)，检验P(±3，±2)满足上式．综上：点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.3．(2022·湖北，21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解　(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(a)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.(b)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(ⅰ)若由②③解得k<－1，或k>.25\n即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ⅱ)若或，由②③解得k∈，或k∈.即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(ⅲ)若由②③解得－1<k<－，或0<k<.即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综合(1)(2)可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．4.(2022·辽宁，20)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线AM的斜率为－.∴切点A，切线AM：y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，①25\ny0＝－＝－.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③y＝.④切线MA、MB的方程为y＝(x－x1)＋，⑤y＝(x－x2)＋.⑥由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－，⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.5.(2022·辽宁，20)如图椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b<t1<a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．(1)解　设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝(x－a)．②25\n由①×②得，y2＝(x2－a2)③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.从而y＝b2(1－)，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．即交点M的轨迹方程是－＝1(x<－a，y<0)．(2)证明　设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故xy＝xy.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x(1－)＝b2x(1－)．由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，因此t＋t＝a2＋b2为定值．考点三　圆锥曲线的综合问题1．(2022·福建，9)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)A．5B.＋C．7＋D．6解析　设圆的圆心为C，则C(0，6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离|CQ|＝＝＝≤＝5，当且仅当sinα＝－时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.答案　D2．(2022·湖北，9)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF225\n＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.B.C．3D．2解析　假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别在左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋3m2＝4c2⇒＋3＝4，则≥⇒＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.答案　A3．(2022·四川，10)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A．2B．3C.D.解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y1>0，y2<0)，直线AB的方程为x＝ty＋m，且直线AB与x轴的交点为M(m，0)．由消去x，得y2－ty－m＝0，所以y1y2＝－m.又·＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2＝－2，故m＝2.又F(，0)，于是S△ABO＋S△AFO＝×2×(y1－y2)＋××y1＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝，即y1＝时取“＝”，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.答案　B4．(2022·山东，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于25\nA，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．解　(1)由题意知2a＝4，则a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，25\n可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所在△ABQ面积的最大值为6.5．(2022·湖南，20)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．①若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．解　(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②联立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．①因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④25\n由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.(ⅱ)由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.令y＝0得x＝，即M，所以||＝.而||＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．6.(2022·安徽，19)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C225\n两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．(1)证明　设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以＝＝2p1，＝＝2p2.故＝，所以A1B1∥A2B2.(2)解　由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此＝()2.又由(1)中的＝知＝.故＝.7．(2022·四川，20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；(ⅱ)当最小时，求点T的坐标．解　(1)由已知可得25\n解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)(ⅰ)证明　由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM＝－.又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.(ⅱ)由(ⅰ)可得，|TF|＝，|PQ|＝＝＝＝所以＝25\n＝≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．所以当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．8．(2022·安徽，18)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆E的左，右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．解　(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，直线F2P的斜率kF2P＝.故直线F2P的方程为y＝(x－c)．当x＝0时，y＝，即点Q的坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－1)①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，25\n即点P在定直线x＋y＝1上.25