【红对勾】（新课标）2023高考数学大一轮复习 8.9直线与圆锥曲线的位置关系课时作业 理.DOC

课时作业61　直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A2．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　)A．3x＋2y－4＝0B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0解析：依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，所求直线的斜率为－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0.答案：B3．直线l过抛物线y2＝8x的焦点，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　)A．y1·y2＝－64B．y1·y2＝－8C．x1·x2＝4D．x1·x2＝16解析：由抛物线的焦点为F(2,0)，设直线l的方程为my＝x－2，由⇒y2－8my－16＝0，又A(x1，y1)，B(x2，y2)，故y1·y2＝－16，x1·x2＝＝＝4.故选C.答案：C4．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　)A.B.7\nC.D．与P点位置有关解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.由kPA·kPB＝·＝＝＝＝知kPA·kPB为定值，选A.答案：A5．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为(　　)A．±B．±C．±D．±解析：焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，①y1y2＝－4，②又由＝－4可得y1＝－4y2，③联立①②③式解得k＝±.答案：D6．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率是(　　)A．2B．3C.D．9解析：双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，代入抛物线得x＝x2＋2，即x2－x7\n＋2＝0，则Δ＝－8＝0，即b2＝8a2，又b2＝c2－a2＝8a2，所以c2＝9a2，故e＝＝3.答案：B二、填空题7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意知∴m≥1，且m≠5.答案：m≥1，且m≠58．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.答案：109．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.解析：因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)．设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|＝e|AB|，得(*)因为点M在椭圆上，所以＋＝1，将(*)式代入，得＋＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝.答案：三、解答题10．已知椭圆C1：＋＝1(0<b<2)的离心率为，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C2的方程．(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，7\nl2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝，由e＝＝＝得b2＝1，∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，∴抛物线C2的焦点为(0,1)，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.由得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.①且x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式．∴直线l的方程为x－y＋1＝0.11．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程．解：(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1.由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，所以S＝|OP||y1－y2|＝＝.由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.7\n故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．1．对于直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，k＝±1是直线l与抛物线C有唯一交点的____________条件．(　　)A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解析：联立方程组消去y并整理得，k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.当k＝0时，上式变为－4x＝0，解得x＝0，l与C有唯一交点，当k≠0时，Δ＝4(k2－2)2－4k4＝0，解得k＝±1.故k＝±1是直线l与抛物线C有唯一交点的充分不必要条件．答案：A2．已知椭圆＋＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是(　　)A．P点有两个B．P点有四个C．P点不一定存在D．P点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3<4＝b，即圆与椭圆不可能有交点，所以P点一定不存在．答案：D3．双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M，若＝λ，且λ∈，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)A．(1，]B．(，)C．(，)D．(，＋∞)解析：由题意得令l1：y＝－x，l2：y＝x，l：y＝(x－c)，由l交双曲线C于R，令解此方程组得R，7\n故有＝，由l交l1于M，令解此方程组得M，故有＝，由＝λ，得＝λ，所以＝－，整理得a2＝(1－λ)c2，即e2＝，又λ∈，所以e2∈(2,3)，即e∈(，)．答案：B4．(2014·福建卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，从而双曲线E的离心率e＝＝.(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.7\n设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a，又因为△OAB的面积为8，所以|OC|·|AB|＝8，因此a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为－＝1.故存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1＝，同理得y2＝，由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得，·＝8，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．由得，(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.7