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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 理.DOC

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课时作业48 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“l∥m”是“α⊥β”的(  )A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.既不充分又不必要条件解析:若l∥m,则m⊥平面α,由面面垂直的判定定理可知α⊥β,反过来,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,又因为m⊂β,所以l与m可能平行,异面或相交,所以“l∥m”是“α⊥β”的充分条件,故选C.答案:C2.已知m,n为两条不同直线,α,β为两个不同平面,直线m⊂平面α,直线n⊥平面β,给出命题:①n⊥m⇒α∥β;②n∥m⇒α⊥β;③α∥β⇒n⊥m;④α⊥β⇒n∥m.其中正确命题为(  )A.①③B.②③C.②④D.①④解析:由直线n⊥面β,n∥m⇒m⊥面β,又因为直线m⊂平面α,所以α⊥β,②对,由题意,再结合α∥β⇒n⊥α⇒n⊥m,③对,故选B.答案:B3.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β(  )A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对解析:过直线a的平面α有无数个,当平面α与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α,当平面α与b相交时,过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.答案:D8\n4.如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b(C,D均异于A,B),则△ACD是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:因为a⊥b,b⊥c,a∩c=B,所以b⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.答案:B5.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(  )A.B.1C.D.2解析:设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.答案:A6.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S—ABC的体积为(  )A.B.C.D.解析:8\n如图所示,由题意知,在棱锥S—ABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥S—ABC的体积为两个棱锥S—ABD和C—ABD的体积和,所以棱锥S—ABC的体积V=SC·S△ADB=×4×=.答案:C二、填空题7.正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________.解析:设BD与AC交于点O,连接D1O,∵BB1∥DD1,∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1成的角.∵AC⊥BD,AC⊥DD1,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面DD1B,平面DD1B∩平面ACD1=OD1,∴DD1在平面ACD1内的射影落在OD1上,故∠DD1O为直线DD1与平面ACD1所成的角,设正方体的棱长为1,则DD1=1,DO=,D1O=,∴cos∠DD1O==,∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案:8.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:8\n①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上)解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.答案:①③9.如图,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________.解析:点P到直线CC1的距离等于点P在面ABCD上的射影到点C的距离,点P在面ABCD内的射影落在线段DE上设为P′,问题等价求为P′C的最小值,当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C==.答案:三、解答题10.(2014·湖北卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.解:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.8\n从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.11.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:DP⊥平面EPC.(1)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC?若存在,求出的值.解:(1)因为EP⊥平面ABCD,所以EP⊥DP,又四边形ABCD为矩形,AB=2BC,P,Q为AB,CD的中点,所以PQ⊥DC,且PQ=DC,所以DP⊥PC.因为EP∩PC=P,所以DP⊥平面EPC.8\n(2)如图,假设存在F使平面AFD⊥平面BFC,因为AD∥BC,AD⊄平面BFC,BC⊂平面BFC,所以AD∥平面BFC,所以AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.因为EP⊥平面ABCD,所以EP⊥AD,而AD⊥AB,AB∩EP=P,所以AD⊥平面FAB,所以l⊥平面FAB,所以∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角.因为P是AB的中点,且FP⊥AB,所以当∠AFB=90°时,FP=AP,所以当FP=AP,即=1时,平面AFD⊥平面BFC.1.如右图,在三棱锥P—ABC中,点E,F分别是棱PC,AC的中点.(1)求证:PA∥平面BEF;8\n(2)若平面PAB⊥平面ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥PA.解:(1)在△PAC中,E、F分别是PC、AC的中点,所以PA∥EF,又PA⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以PA∥平面BEF.(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB,垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,所以PD⊥BC,又PB⊥BC,PD∩PB=P,PD⊂平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA.2.(2014·广东卷)如图所示,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,EF∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D—AF—E的余弦值.解:(1)证明:PD⊥平面ABCD,PD⊂面PCD,∴平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥AD,又AF⊥PC,∴CF⊥AF,AD,AF⊂平面ADF,AD∩AF=A,∴CF⊥平面ADF.8\n(2)解法1:过E作EG∥CF交DF于G,∵CF⊥平面ADF,∴EG⊥平面ADF,过G作GH⊥AF于H,连EH,则∠EHG为二面角D—AF—E的平面角,设CD=2,∵∠DPC=30°,∴∠CDF=30°,从而CF=CD=1,CP=4,∵EF∥DC,∴=,即=,∴DE=,还易求得EF=,DF=,从而EG===,易得AE=,AF=,EF=,∴EH===,故HG==,∴cos∠EHG==·=.解法2:分别以DP,DC,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则A(0,0,2),C(0,2,0),P(2,0,0),设=λ,则F(2λ,2-2λ,0),⊥,可得λ=,从而F(,,0),易得E(,0,0),取面ADF的一个法向量为n1==(,-1,0),设面AEF的一个法向量为n2=(x,y,z),利用n2·=0,且n2·=0,得n2可以是(4,0,),从而所求二面角的余弦值为==.8

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发布时间:2022-08-25 17:48:16 页数:8
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文章作者:U-336598

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