三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第六节直线与圆锥曲线的位置关系文全国通用

【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第九章第六节直线与圆锥曲线的位置关系文（全国通用）A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·沈阳模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为(　　)A.B.C．2D.解析　由双曲线的定义|MF2|－|MF1|＝2a，得|MF1|＝，|MF2|＝，|MF1|＋|MF2|＝≥|F1F2|＝2c，故e＝≤.答案　A2．(2022·马鞍山模拟)以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为(　　)A.－1B.C.＋1D．2解析　过点M作x轴垂线，交x轴于点A，由|MF2|2＝|F2A|·|F1F2|得|MF2|＝c，由双曲线定义|MF1|－|MF2|＝2a，得|MF1|＝2a＋c，由|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2，得c2－2ac－2a2＝0，即e2－2e－2＝0，得e＝＋1.答案　C3．(2022·东北四校联考)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，7\n12.答案　C二、填空题4．(2022·宜宾二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析　由题意得|PF2|＝，又|F1F2|＝|PF2|，∴2c＝，∵b2＝a2－c2，∴c2＋2ac－a2＝0，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±，又0<e<1，∴e＝－1.答案　－1一年创新演练5．若C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为________．解析　由椭圆＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，∴C，D是该椭圆的两焦点，令|MC|＝r1，|MD|＝r2，则r1＋r2＝2a＝4，∴＋＝＋＝＝，又∵r1r2≤＝＝4，∴＋＝≥1.当且仅当r1＝r2时，上式等号成立．故＋的最小值为1.答案　17\n6．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0，2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且＝2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．解　(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即消去y，得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系，知又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，所以－x1＝2x2.则所以＝－2.整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时等式不成立，所以k2＝＞0，得＜m2＜4，此时Δ＞0.7\n所以m的取值范围为∪.B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2022·湖北八校联考)点A是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于(　　)A.B.C.D.解析　不妨设点A在第一象限，A的坐标为，C2的渐近线为y＝±x，得·＝p，即＝＝2，e＝.答案　C8．(2022·广东佛山模拟)设抛物线M：y2＝2px(p＞0)的焦点F是双曲线N：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e的值为(　　)A.B.＋1C．3＋D．2解析　如图所示，设F′为双曲线的左焦点，连接AF′.由已知得＝c，∴p＝2c.又|AF|＝p＝2c，|FF′|＝2c，∴|AF′|＝＝2c，∴e＝＝＝＝＋1，故选B.答案　B二、解答题9．(2022·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆与P，Q两点，且|PQ|＝3.7\n(1)求椭圆的方程．(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解　(1)设椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，由交点的坐标得c＝1，由|PQ|＝3，可得＝3，解得a＝2，b＝，故椭圆的方程是＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＞0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a＝8，S△F1MN最大，R就最大，S△F1MN＝|F1F2||y1－y2|＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋1，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，解得y1＝，y2＝，则S△F1MN＝|AB||y1－y2|＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，则S△F1MN＝|F1F2||y1－y2|＝y1－y2＝＝，令f(t)＝3t＋，f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)≥0，f′(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，即当t＝1，m＝0时，S△F1MN≤＝3，S△F1MN＝4R，所以Rmax＝，此时所求内切圆面积的最大值是，7\n故直线l：x＝1，△F1MN内切圆的面积最大值是.一年创新演练10．若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是______________．解析　双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，|PQ|－|PR|的最大值为|PQ|max－|PR|min＝|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝10.答案　1011．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．(1)求曲线D的方程；(2)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为△APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(若三角形ABC的三点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3、y3)，则其重心G的坐标为)．解　(1)设P(x，y)，由题知F(1，0)，所以以PF为直径的圆的圆心为E，则＝|PF|＝，整理得y2＝4x，即曲线D的方程为y2＝4x.(2)不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设P(y1≠0)，M(x2，y2)，由条件①知＋＝1，由条件②得＋＋＝0，又因为点A(－2，0)，所以即＋x2－2＝0，7\n故－x＋x2－2＝0.解之得x2＝2或x2＝(舍)，当x2＝2时，解得P(0，0)，不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．7