三年模拟一年创新2022届高考数学复习第八章第三节空间点线面的位置关系理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·安徽安庆模拟)b、c表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是(　　)A.⇒c∥bB.⇒c⊥βC.⇒α∥βD.⇒b∥α解析　根据直线与平面垂直的性质，可以得到C正确，故选C.答案　C2．(2022·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是(　　)A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α解析　利用排除法，可以得到选C.答案　C3.(2022·江门模拟)如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2(　　)A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为D．相交且夹角为解析　将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为，故选D.答案　D5\n4．(2022·贵阳模拟)如图所示，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是(　　)A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析　连接B1C，AC，则易知EF是△ACB1的中位线，因此EF∥AC∥A1C1，故选D.答案　D二、填空题5．(2022·福建漳州5月)对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：①三条直线两两平行；②三条直线共点；③有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有________个．解析　①中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面．②中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面．③中，一定能推出三条直线共面．故只有③是空间中三条不同的直线共面的充分条件．答案　1一年创新演练6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)A．0<θ<B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ≤解析　当P在D1处时，CP与BA1所成角为0；当P在A处时，CP与BA1所成角为，∴0<θ≤.答案　D5\nB组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2022·湖南怀化一模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是(　　)A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④解析　②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故选A.答案　A二、填空题8.(2022·扬州阶段检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．答案　①③9．(2022·南昌模拟)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.解析　a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，由公理2，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；5\n两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案　③④三、解答题10.(2022·大连模拟)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．解　如图，分别取AD，CD，AB，BD的中点E，F，G，H，连接EF，FH，HG，GE，GF.由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.11．(2022·济宁一中月考)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明　(1)假设BC与AD共面．不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，∴BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，∴EG与HF相交．一年创新演练5\n12．如图，在四棱锥SABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．(1)求证：AC⊥平面SBD；(2)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论(1)证明　连接SO，∵底面ABCD是菱形，O为中心，∴AC⊥BD.又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.(2)解　如图，取棱SC中点M，CD中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，∴EM∥SB.同理，EN∥BD，又EM∩EN＝E，∴平面EMN∥平面SBD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面EMN.因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP；P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.故点P的轨迹为△SDC的中位线．5