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五年高考2022届高考数学复习第八章第三节空间点线面的位置关系文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第八章第三节空间点线面的位置关系文全国通用
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第三节 空间点、线、面的位置关系考点 空间点、线、面的位置关系1.(2022·广东,6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交解析 若l与l1,l2都不相交则l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,∴l至少与l1,l2中的一条相交.答案 D2.(2022·湖北,5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析 由l1,l2是异面直线,可得l1,l2不相交,所以p⇒q;由l1,l2不相交,可得l1,l2是异面直线或l1∥l2,所以q⇒/p.所以p是q的充分条件,但不是q的必要条件.故选A.答案 A3.(2022·浙江,4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m解析 选项A:∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β,A正确;选项B:α⊥β,l⊂α,m⊂β,l与m位置关系不固定;选项C,∵l∥β,l⊂α,∴α∥β或α与β相交.选项D:∵α∥β,l⊂α,m⊂β.此时,l与m位置关系不固定,故选A.答案 A4.(2022·安徽,15)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).6\n①当0<CQ<时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为解析 当CQ=时,D1Q2=D1C+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又因为AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,截面为APQM,所以为四边形,故①也正确,如图①所示. 图① 图②图③如图②,当CQ=时,由△QCN∽△QC1R得=,即=,C1R=,故③正确.如图③所示,当CQ=1时,截面为APC1E,6\n可知AC1=,EP=且APC1E为菱形,S四边形APC1E=,故⑤正确.当<CQ<1时,截面为五边形APQMF.所以④错误.答案 ①②③⑤5.(2022·四川,18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明:直线DF⊥平面BEG.(1)解 点F,G,H的位置如图所示.(2)证明 平面BEG∥平面ACH,证明如下:因为ABCDEFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形,所以BE∥CH,又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH,同理BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明 连接FH,因为ABCDEFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG,又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD,6\n又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG,同理DF⊥BG,又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.6.(2022·陕西,17)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.(1)解 由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=CD=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体体积V=××2×2×1=.(2)证明 ∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.7.(2022·新课标全国Ⅱ,18)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.6\n(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥PABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.(1)证明 设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解 V=PA·AB·AD=AB.由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB=,所以AH==.所以A到平面PBC的距离为.8.(2022·天津,17)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.(1)解 如图,在四棱锥PABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=6\nBC且AD∥BC.又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为AD⊥PD,在Rt△PDA中,tan∠PAD==2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明 由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)解 在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线.故PE⊥平面ABCD,由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.在Rt△PCB中,PB==.在Rt△PEB中,sin∠PBE==.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:59:35
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