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五年高考真题2022届高考数学复习第二章第七节函数与方程理全国通用

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考点 函数的零点与方程的根1.(2022·山东,10)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a取值范围是(  )A.B.[0,1]C.D.[1,+∞)解析 当a=2时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=时,f(a)=f=3×-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=满足题意,排除D选项,故答案为C.答案 C2.(2022·天津,8)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是(  )A.B.C.D.解析 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有四个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.答案 D6\n3.(2022·湖南,10)已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )A.B.C.D.解析 由题意可得,当x>0时,y=f(-x)与y=g(x)的图象有交点,即g(x)=f(-x)有正解,即x2+ln(x+a)=(-x)2+e-x-有正解,即e-x-ln(x+a)-=0有正解,令F(x)=e-x-ln(x+a)-,则F′(x)=-e-x-<0,故函数F(x)=e-x-ln(x+a)-在(0,+∞)上是单调递减的,要使方程g(x)=f(-x)有正解,则存在正数x使得F(x)≥0,即e-x-ln(x+a)-≥0,所以a≤ee-x--x,又y=ee-x--x在(0,+∞)上单调递减,所以a<ee-0--0=e,选B.答案 B4.(2022·重庆,6)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(  )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内解析 由题意a<b<c,可得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.答案 A5.(2022·天津,4)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(  )A.0B.1C.2D.3解析 令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象,由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点,∴函数f(x)=2x+x36\n-2在区间(0,1)内有一个零点,故选B.答案 B6.(2022·湖南,15)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________.解析 若0≤a≤1时,函数f(x)=在R上递增,若a>1或a<0时,由图象知y=f(x)-b存在b使之有两个零点,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).答案 (-∞,0)∪(1,+∞)7.(2022·安徽,15)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.解析 令f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确;当a<0时,由于选项当中a=-3,∴只考虑a=-3这一种情况,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要有一根,f(x)极大<0或f(x)极小>0,∴b<-2或b>2,①③正确,所有正确条件为①③④⑤.答案 ①③④⑤8.(2022·江苏,13)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.答案 46\n9.(2022·北京,14)设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为________;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.解析 (1)当a=1时,f(x)=当x<1时,2x-1>-1.当x≥1时,且当x=时,f(x)min=f=-1,∴f(x)最小值为-1.(2)1°当a≤0时,2x-a>0,由4(x-a)(x-2a)=0得x=a或x=2a.a∉[1,+∞),2a∉[1,+∞),∴此时f(x)无零点.2°当0<a<1时,若有2个零点,只须∴≤a<1.3°当1≤a<2时,x<1,2x=a,x=log2a∈[0,1),x≥1时,由f(x)=0,得x=a或2a,a∈[1,+∞).2a∈[1,+∞),有3个零点,不合题意.4°当a≥2时,x<1,则2x-a<0,x≥1时,由f(x)=0,得x=a或2a,a,2a∈[1,+∞),此时恰有2个零点,综上≤a<1或a≥2.答案 (1)-1 (2)∪[2,+∞)10.(2022·陕西,21)已知函数f(x)=ex,x∈R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切,求实数k的值;(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;(3)设a<b,比较与的大小,并说明理由.解 (1)f(x)的反函数为g(x)=lnx.设直线y=kx+1与g(x)=lnx的图象在P(x0,y06\n)处相切,则有y0=kx0+1=lnx0,k=g′(x0)=,解得x0=e2,k=.(2)曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y=与y=m的公共点个数.令φ(x)=,则φ′(x)=,∴φ′(2)=0.当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=.当0<m<时,曲线y=与y=m无公共点;当m=时,曲线y=与y=m恰有一个公共点;当m>时,在区间(0,2)内存在x1=,使得φ(x1)>m,在(2,+∞)内存在x2=me2,使得φ(x2)>m(通过证明φ(x2)=>x2即可).由φ(x)的单调性知,曲线y=与y=m在(0,+∞)上恰有两个公共点.综上所述,当x>0时,若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;若m=,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;若m>,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点.(3)可以证明>.事实上,>⇔>⇔>⇔>1-⇔>1-(b>a).(*)令φ(x)=+-1(x≥0),6\n则φ′(x)=-==≥0(当且仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,∴x>0时,φ(x)>φ(0)=0.令x=b-a,即得(*)式,结论得证.6

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发布时间:2022-08-25 23:59:06 页数:6
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文章作者:U-336598

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