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五年高考真题2022届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理全国通用
五年高考真题2022届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理全国通用
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考点一 函数的实际应用1.(2022·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对;B应是甲车耗油最少;C甲车以80千米/小时的速度行驶10km,消耗1升汽油.故D正确.答案 D2.(2022·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.-1解析 设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1+p)(1+q)a=a(1+x)2,解得x=-1,故选D.答案 D3.(2022·陕西,9)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析 设矩形另一边长为y,=,则x=40-y,y=40-x.由xy≥300,即x(40-8\nx)≥300,解得10≤x≤30,故选C.答案 C4.(2022·湖北,10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)=( )A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克解析 由题意M′(t)=M02-ln2,M′(30)=M02-1×ln2=-10ln2,∴M0=600,∴M(60)=600×2-2=150,故选D.答案 D5.(2022·四川,13)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.解析 由题意∴e22k==,∴e11k=,∴x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=·eb=×192=24.答案 246.(2022·江苏,17)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,8\n故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.∴炮的最大射程为10千米.(2)∵a>0,∴炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.∴当a不超过6千米时,可击中目标.7.(2022·江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,R以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,8\ny′=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g′(t)=2t-.令g′(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.考点二 函数的综合应用1.(2022·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A.B.C.D.解析 不妨令0≤y<x≤1,当0<x-y≤时,|f(x)-f(y)|<|x-y|≤;当<x-y≤1时,|f(x)-f(y)|=|[f(x)-f(1)]-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=(1-x)+y=+(y-x)<.综上,|f(x)-f(y)|<,所以k≥.答案 B8\n2.(2022·天津,8)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是( )A.B.C.∪D.解析 a=0时,A=∅,不满足条件.a>0时,易知f(0)=0,x>0时,f(x)=x(1+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),而由已知⊆A可得0∈A,即f(0+a)<f(0),所以a>0也不满足条件,故a<0.易知f(x)=在坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示,由图可知满足不等式f(x+a)<f(x)的解集A=(xA,xB).由x(1-ax)=(x+a)[1-a(x+a)]可得xA=;由x(1+ax)=(x+a)[1+a(x+a)],可得xB=-.∴A=(a<0).由⊆A得解得<a<0.故选A.答案 A3.(2022·新课标全国,12)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)8\n解析 由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=ex最小距离的2倍,设y=ex上点(x0,y0)处的切线与y=x平行,有ex0=1,x0=ln2,y0=1,∴切点到直线y=x的距离d=,所以|PQ|的最小值为(1-ln2)×2=(1-ln2).答案 B4.(2022·湖北,14)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数.(2)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=(x-a),令y=0得c=.(1)令几何平均数=⇒f(a)+f(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=(x>0);(2)令调和平均数=⇒=,可取f(x)=x(x>0).答案 (1) (2)x5.(2022·山东,15)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.解析 函数g(x)的定义域是[-2,2],根据已知得=f(x),所以h(x)=2f(x)-g(x)=6x+2b-.h(x)>g(x)恒成立,即6x+2b->恒成立,8\n即3x+b>恒成立,令y=3x+b,y=,则只要直线y=3x+b在半圆x2+y2=4(y≥0)上方即可,由>2,解得b>2(舍去负值),故实数b的取值范围是(2,+∞).答案 (2,+∞)6.(2022·新课标全国Ⅰ,21)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.解 (1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.(ⅰ)若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅱ)若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅲ)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.8\n综上,k的取值范围是[1,e2].8
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高考 - 历年真题
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