三年模拟一年创新2022届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·北京昌平区模拟)在2022年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是(　　)A．32人B．35人C．40人D．45人解析　设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤30且x∈N时，m＝800，ymax＝800×30－12000＝12000，当30<x≤45且x∈N时，m＝800－20(x－30)＝1400－20x，则y＝(1400－20x)x－12000＝－20x2＋1400x－12000，对应的抛物线开口向下，因为x∈N，所以当x＝－＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B.答案　B2．(2022·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝t2米，那么，此人(　　)A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析　以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t，汽车在时间t内的位移为s＝t2，故设相对位移为ym，则y＝－25＋6t－t2＝－(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7米．故选D.6\n答案　D3．(2022·沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v1，v2，v3，则该人整个行程的平均速度是(　　)A.B.C.D.解析　设整个行程为3S，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t1，t2，t3，则t1＝，t2＝，t3＝，整个行程的平均速度为＝＝，选D.答案　D4．(2022·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站(　　)A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处解析　设仓库建在离车站xkm处，则y1＝，y2＝k2x，根据已知数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和y＝＋0.8x≥2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5km处．答案　A二、填空题5．(2022·金华十校期末)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______．(围墙厚度不计)解析　设矩形场地的宽为xm，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x6\n)＝－4(x－25)2＋2500.故当x＝25时，S取得最大值2500，即围成场地的最大面积为2500m2.答案　2500m2三、解答题6．(2022·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解　依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则f(x)＝r(x)－g(x)所以f(x)＝(1)要使工厂盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0⇒或⇒或⇒或7<x<10.5.则3<x≤7或7<x<10.5，即3<x<10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．(2)当3<x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5.而当x>7时，f(x)<10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时盈利最大．一年创新演练7．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3/h).那么瞬时融化速度等于v(m3/h)的时刻是图中的(　　)6\nA．t1B．t2C．t3D．t4解析　平均融化速度为v＝，反映的是V(t)图象与坐标交点线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.答案　CB组　专项提升测试三年模拟精选一、填空题8．(2022·惠州模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有升，则m＝________．解析　根据题意＝e5n，令a＝aent，即＝ent，因为＝e5n，故＝e15n，解得t＝15，故m＝15－5＝10.答案　10二、解答题9．(2022·河南鹤壁二模)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)．前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升趋势，其中4天的单价记录如下表：时间(将第x天记为x)x11011186\n单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x(天)对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y(元)关于时间x(天)的函数；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P定为多少元为好？(结果精确到1元)解　(1)P＝(x∈N*)，Q＝，x∈[1，20]，x∈N*，∴y＝100QP＝100，x∈[1，20]，x∈N*.(2)∵(x－10)2[100－(x－10)2]≤＝2500，当且仅当(x－10)2＝100－(x－10)2，即x＝10±5时，y有最大值．又x∈N*，∴当x＝3或17时，ymax＝700≈4999，此时，P＝7.答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．一年创新演练10．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(单位：万元)与技术改造投入x(单位：万元)之间的关系满足：①y与a－x和x2的乘积成正比例；②当x＝时，y＝；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，2]．(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入x的值．解　(1)设y＝k(a－x)x2，由②得k＝4，∴y＝4(a－x)x2.∵0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，2]，y＝f(x)的定义域为，t为常数，且t∈[0，2]．(2)f′(x)＝－4x(3x－2a)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝，6\n(ⅰ)当≥，即1≤t≤2时，若x∈，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0，故当x＝时，ymax＝.(ⅱ)当<，即0≤t<1时，在x∈时恒有f′(x)>0，此时f(x)在上是增函数，故当x＝时，ymax＝.综上，当1≤t≤2，投入x＝时，附加值y最大，为万元；当0≤t<1，投入x＝时，附加值y最大，为万元．6